Seja f uma função definida em R tal que para todo x neq 1,-x^2+3 x <= f(x)<x^2-1x-1. Calcule lim x 1 f(x) e justifique.

Passo 1

O enunciado diz que f é uma função definida em R tal que, para todo xneq1, vale
-,x^2 + 3x ;<=; f(x) ;<;x^2-1x-1
Pede-se limxto1f(x). O conteúdo principal aqui é o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) para limites.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão do lado direito. Para xneq1,
x^2-1x-1 =(x-1)(x+1)x-1 = x+1
Assim a desigualdade fica
-,x^2 + 3x ;<=; f(x) ;<; x+1

Passo 3

Calculamos o limite, quando xto1, das duas funções que “enquadram” f(x):
limxto1(-,x^2+3x) = -1^2 + 3cdot1 = -1 + 3 = 2,
limxto1(x+1) = 1 + 1 = 2

Passo 4

Como para todo xneq1 temos
-,x^2+3x ;<=; f(x) ;<; x+1
e ambas as extremas tendem a 2 quando xto1, pelo Teorema do Confronto conclui-se que
limxto1f(x)=2

Resposta

2

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