Mostre que para quaisquer
são válidas as propriedades:
se
e
então
.
se
Passo 1
O enunciado pede para provar a transitividade mista da ordem em
:
se e
então
.
Para isso vamos usar as definições canônicas em :
– significa que existe
tal que
.
– significa que existe
(ou seja,
) tal que
.
se
Para isso vamos usar as definições canônicas em
–
–
Passo 2
Da hipótese
segue
Da hipótese
segue
Passo 3
Substituindo
da primeira igualdade na segunda obtemos
Definindo
, vemos que
e, como
, temos
, ou seja,
.
Passo 4
Pela definição de ordem estrita,
se, e somente se, existe
tal que
. Como acabamos de encontrar tal
, concluímos
Resposta
Foi demonstrado que, em
, se
e
então
.