Mostre que para quaisquer a, b, c, d in N são válidas as propriedades:
se a <= b e b<c então a<c.

Passo 1

O enunciado pede para provar a transitividade mista da ordem em N:
se ;a<= b; e ;b<c; então ;a<c.
Para isso vamos usar as definições canônicas em N:
;a<= b; significa que existe kinN tal que a+k=b.
;b<c; significa que existe minNsetminus0 (ou seja, m>=1) tal que b+m=c.

Passo 2

Da hipótese ;a<= b; segue
exists,kinN: a + k = b
Da hipótese ;b<c; segue
exists,minNsetminus0: b + m = c

Passo 3

Substituindo b da primeira igualdade na segunda obtemos
a + k + m = c
Definindo n = k + m, vemos que ninN e, como m>=1, temos n>=1, ou seja, ninNsetminus0.

Passo 4

Pela definição de ordem estrita, ;a<c; se, e somente se, existe ninNsetminus0 tal que a+n=c. Como acabamos de encontrar tal n, concluímos
a < c

Resposta

Foi demonstrado que, em N, se a<= b e b<c então a<c.

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