Sejam m, n in N. Mostre que:
se m+n=m então n=0.

Passo 1

O enunciado afirma: sejam m,ninN tais que
m+n=m
Queremos mostrar que isso força n=0. O que vamos usar:
– Definição recursiva da adição em N segundo os axiomas de Peano, a saber
m+0 = m, m+succ(k)=succ(m+k)
– O fato de que todo sucessor é estritamente maior que seu antecessor.

Passo 2

Caso n=0.
Pela definição da adição,
m+0 = m,
logo a hipótese m+n=m já está satisfeita e não impõe outra condição. Assim, n=0 é compatível.

Passo 3

Caso n>0.
Então existe kinN tal que n=succ(k). Usando a definição recursiva,
m+n = m+succ(k) = succ(m+k)
Mas todo sucessor satisfaz
succ(m+k) > m+k >= m,
portanto succ(m+k)>m. Isso contradiz a hipótese m+n = m. Logo não pode ocorrer n>0.

Passo 4

Como n ou é zero (caso compatível) ou leva a contradição (se fosse maior que zero), concluímos que a única possibilidade é
n=0

Resposta

n=0.

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