Sejam
. Mostre que:
se
então
.
se
Passo 1
O enunciado afirma: sejam
tais que
Queremos mostrar que isso força
. O que vamos usar:
– Definição recursiva da adição em segundo os axiomas de Peano, a saber
– Definição recursiva da adição em
– O fato de que todo sucessor é estritamente maior que seu antecessor.
Passo 2
Caso
.
Pela definição da adição,
Pela definição da adição,
logo a hipótese
já está satisfeita e não impõe outra condição. Assim,
é compatível.
Passo 3
Caso
.
Então existe tal que
. Usando a definição recursiva,
Então existe
Mas todo sucessor satisfaz
portanto
. Isso contradiz a hipótese
. Logo não pode ocorrer
.
Passo 4
Como
ou é zero (caso compatível) ou leva a contradição (se fosse maior que zero), concluímos que a única possibilidade é