Escreva integral triplaW 1 d V (volume da região W ), onde W é a região dentro da esfera x^2+y^2+z^2=4 e fora do cilindro x^2+y^2=1, utilizando coordenadas:
Esféricas.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região W definida por
x^2+y^2+z^2<=4 e x^2+y^2>=1
ou seja, o interior da esfera de raio 2 excluindo o cilindro de raio 1. Vamos usar coordenadas esféricas para escrever
integral triplaW1,dV.

Passo 2

Em coordenadas esféricas usamos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com
rho>=0, phiin[0,pi], thetain[0,2pi), e o elemento de volume
dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 3

Traduzimos as restrições:
– Esfera x^2+y^2+z^2<=4 vira rho<=2.
– Cilindro x^2+y^2>=1 vira
rho^2sin^2phi>=1 Longrightarrow rhosinphi>=1 Longrightarrow rho>=1sinphi
Para que exista rho<=2 com rho>=1/sinphi é preciso 1/sinphi<=2, ou seja
sinphi>=tfrac12, o que dá
phiin[pi/6,5pi/6].

Passo 4

Reunindo as variações:
theta vai de 0 a 2pi,
phi de pi/6 a 5pi/6,
e rho de 1/sinphi a 2.
Logo, o volume é
integral triplaW1,dV =integral0^2pi!integralpi/6^5pi/6!integral1/sinphi^2 rho^2sinphi ,drho,dphi,dtheta

Resposta

boxedintegral triplaW1,dV =integral0^2pi!integralpi/6^5pi/6!integral1/sinphi^2 rho^2sinphi ,drho,dphi,dtheta

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