Quais das sequências an convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
(i) an=cos (1 / n)

Passo 1

Vamos analisar a sequência $ a_{n} = \cos\left(\frac{1}{n}\right) $. O objetivo é determinar se essa sequência converge ou diverge e, se convergir, encontrar seu limite. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, observamos que à medida que $ n $ aumenta, o valor de $ \frac{1}{n} $ diminui. Especificamente, quando $ n $ tende ao infinito, $ \frac{1}{n} $ tende a 0. Matemáticamente, isso é representado por:
n

Passo 3

Agora, aplicamos o limite dentro da função cosseno. Sabemos que a função cosseno é contínua, o que significa que podemos passar o limite para dentro dela. Portanto:
limn to infty cos(1n) = cos(limn to infty 1n) = cos(0)

Passo 4

Calculando o valor de $ \cos(0) $, temos:
cos(0)
Isso nos mostra que a sequência converge e seu limite é 1.

Resposta

A sequência $ a_{n} = \cos\left(\frac{1}{n}\right) $ converge e seu limite é 1.

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