Seja f uma função com derivada contínua em [a, b]. Sabendo que o comprimento L da curva y=f(x), com a <= x <= b, é dado por
L=integrala^b raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
calcule o comprimento das seguintes curvas dadas em coordenadas retangulares (cartesianas):
(a) y=senh(x), x in[-1,1].

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento da curva definida por y=sinh(x) no intervalo xin[-1,1]. O conteúdo envolvido é comprimento de curva, e vamos precisar usar a fórmula
L=integrala^braiz1+[f'(x)]^2,dx
aplicada a f(x)=sinh(x).

Passo 2

Primeiro, calcule a derivada de f(x)=sinh(x). Como sabemos da teoria das funções hiperbólicas,
ddxsinh(x)=cosh(x)
logo f'(x)=cosh(x).

Passo 3

Agora substituímos f'(x) na fórmula do comprimento de curva. Fica:
L=integral-1^1raiz1+l[cosh(x)r]^2,dx

Passo 4

Observe que a função xmapstoraiz1+cosh^2(x) é par (ou seja, f(-x)=f(x)). Assim podemos simplificar a integral em duas vezes a integral de 0 a 1:
L=2integral0^1raiz1+cosh^2(x),dx

Passo 5

Não existe antiderivada elementar simples para raiz1+cosh^2(x), então a resposta fica expressa como integral imprópria que pode ser avaliada numericamente. Aplicando um método numérico (por exemplo, regra de Simpson), encontramos a aproximação abaixo para o comprimento.

Passo 6

Estimando numericamente, temos
Lapprox2integral0^1raiz1+cosh^2(x),dxapprox3,094

Resposta

L=2integral0^1raiz1+cosh^2(x),dxapprox3,094

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