Seja
uma função com derivada contínua em
. Sabendo que o comprimento
da curva
, com
, é dado por
calcule o comprimento das seguintes curvas dadas em coordenadas retangulares (cartesianas):
(a)
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o comprimento da curva definida por
no intervalo
. O conteúdo envolvido é comprimento de curva, e vamos precisar usar a fórmula
aplicada a
.
Passo 2
Primeiro, calcule a derivada de
. Como sabemos da teoria das funções hiperbólicas,
logo
.
Passo 3
Agora substituímos
na fórmula do comprimento de curva. Fica:
Passo 4
Observe que a função
é par (ou seja,
). Assim podemos simplificar a integral em duas vezes a integral de 0 a 1:
Passo 5
Não existe antiderivada elementar simples para
, então a resposta fica expressa como integral imprópria que pode ser avaliada numericamente. Aplicando um método numérico (por exemplo, regra de Simpson), encontramos a aproximação abaixo para o comprimento.
Passo 6
Estimando numericamente, temos