Seja f uma função com derivada contínua em [a, b]. Sabendo que o comprimento L da curva y=f(x), com a <= x <= b, é dado por
L=integrala^b raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
calcule o comprimento das seguintes curvas dadas em coordenadas retangulares (cartesianas):
(e) y=1-ln (sen x), com pi6 <= x <= pi4. Resposta: ln |raiz2-12-raiz3|.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva definida por y=1-ln(sin x) para x de pi/6 até pi/4. O conteúdo principal é fórmula do comprimento de curva:
L=integrala^braiz1+[f'(x)]^2,dx
Vamos precisar de derivada de y, identidade trigonométrica e calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, derivamos y=1-ln(sin x). Como ddx[ln(sin x)]=cot x, segue
y'=ddxl(1-ln(sin x)r)=-cot x

Passo 3

Substituímos em 1+[y']^2:
1+(-cot x)^2=1+cot^2 x=csc^2 x,
pela identidade trigonométrica. Como em [pi/6,pi/4] temos sin x>0, então
raiz1+[y']^2=raizcsc^2 x=csc x=1sin x
Logo
L=integralpi/6^pi/4csc x,dx

Passo 4

Para integrar csc x, usamos a primitiva padrão:
integralcsc x,dx=lnl|tanx2r|+C
Assim,
L=gl[lnl|tanx2r|gr]pi/6^pi/4 =lnl|tanpi8r|-lnl|tanpi12r|

Passo 5

Falta usar os valores conhecidos:
tan(pi/8)=raiz2-1 e tan(pi/12)=2-raiz3. Logo
L=lnraiz2-12-raiz3

Resposta

ln|raiz2-12-raiz3|

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