Seja uma função com derivada contínua em . Sabendo que o comprimento da curva , com , é dado por
calcule o comprimento das seguintes curvas dadas em coordenadas retangulares (cartesianas):
(e) , com . Resposta: .
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco da curva definida por y=1-ln(sin x) para x de pi/6 até pi/4. O conteúdo principal é fórmula do comprimento de curva:
L=integrala^braiz1+[f'(x)]^2,dx
Vamos precisar de derivada de y, identidade trigonométrica e calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, derivamos y=1-ln(sin x). Como ddx[ln(sin x)]=cot x, segue
y'=ddxl(1-ln(sin x)r)=-cot x
Passo 3
Substituímos em 1+[y']^2:
1+(-cot x)^2=1+cot^2 x=csc^2 x,
pela identidade trigonométrica. Como em [pi/6,pi/4] temos sin x>0, então