Seja f: R R uma função derivável, sendo f(0)=0. Calcule lim n infty n f(1n). Quanto vale lim n infty n arctan (1n) ?

Passo 1

O enunciado pede para calcular dois limites envolvendo uma função derivável f com f(0)=0 e, em seguida, aplicar o resultado ao caso f(x)=\arctan(x). O conteúdo principal é o conceito de derivada em x=0 e sua definição como limite do quociente incremental.

Passo 2

Para o limite limntoinfty n,fl(tfrac1nr) usamos a definição de derivada em zero:
f'(0)=limxto0f(x)-f(0)x-0=limxto0f(x)x

Passo 3

Substituindo x=1/n, quando ntoinfty temos xto0 e
n,fl(tfrac1nr)=f(1/n)1/nlongrightarrow f'(0)

Passo 4

Agora, para f(x)=arctan(x), temos f(0)=0 e
f'(x)=11+x^2,

Passo 5

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f'(0)=11+0^2=1

Passo 6

Assim,
limntoinftynarctan(1/n)=f'(0)=1

Resposta

limntoinftyn,f(1/n)=f'(0) e limntoinftynarctan(1/n)=1.

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