Seja
uma função derivável, sendo
. Calcule
. Quanto vale
?
Passo 1
O enunciado pede para calcular dois limites envolvendo uma função derivável f com f(0)=0 e, em seguida, aplicar o resultado ao caso f(x)=\arctan(x). O conteúdo principal é o conceito de derivada em x=0 e sua definição como limite do quociente incremental.
Passo 2
Para o limite
usamos a definição de derivada em zero:
Passo 3
Substituindo
, quando
temos
e
Passo 4
Agora, para
, temos
e
Passo 5
logo
Passo 6
Assim,