Calcule as integrais indefinidas usando a técnica de substituição.
$\int \sqrt{2 x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral raiz2x+1,dx usando a técnica de substituição, um método de integração que facilita raízes e somas lineares.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = 2x + 1. Assim, ao derivar, obtemos du = 2,dx, ou seja, dx = tfracdu2.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
integral raiz2x+1,dx = integral raizu,du2 = 12 integral u^1/2,du
Agora aplicamos a regra de potência integral u^n,du = tfracu^n+1n+1 + C.

Passo 4

Calculando a integral,
12 integral u^1/2,du = 12 cdot u^3/23/2 = 12 cdot 23u^3/2 = 13u^3/2
Voltando à variável original, substituímos u = 2x+1.

Resposta

13(2x+1)^3/2 + C

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