Seja a função . Determine
\

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão envolvendo a função f(x)=2 - xx, mais especificamente fl(tfrac1xr) - tfrac1f(x). Vamos precisar lembrar como compor funções e como inverter frações para fazer isso.

Passo 2

Primeiro vamos calcular fl(tfrac1xr). Por definição,
$$
f\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)=\frac{2 - \tfrac{1}{x}}{\tfrac{1}{x}} fl(tfrac1xr)=2 - tfrac1xtfrac1x
f\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)=\Bigl(2 - \tfrac{1}{x}\Bigr)\cdot x=2x - 1
$$

Passo 3

Em seguida, calculamos tfrac1f(x). Como f(x)=tfrac2 - xx, a recíproca é
1f(x)=1tfrac2 - xx=x2 - x

Passo 4

Agora formamos a diferença
fl(tfrac1xr)-1f(x)=(2x - 1)-x2 - x

Passo 5

Para somar (ou subtrair) uma expressão inteira com uma fracionária, usamos o mesmo denominador 2 - x:
(2x - 1)-x2 - x=(2x - 1)(2 - x)2 - x-x2 - x
No numerador, expandimos e simplificamos:
(2x - 1)(2 - x)-x=4x - 2x^2 -2 + x - x= -2x^2+4x-2
Fatorando -2 desse polinômio:
-2x^2+4x-2=-2l(x^2-2x+1r)=-2(x-1)^2

Passo 6

Logo a expressão completa fica
-2(x-1)^22 - x
Por fim, notamos que 2 - x=-(x - 2), então podemos simplificar o sinal:
-2(x-1)^22 - x=2(x-1)^2x - 2

Resposta

2(x-1)^2x-2

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