Seja f(x, y) uma função diferenciável em um aberto A subset R^2 e seja (x0, y0) um ponto de A.
Sejam v1=(raiz22, raiz22) e v2=(-raiz22, raiz22), sabendo que partial fpartial v1(x0, y0)=12 e que partial fpartial v2(x0, y0)=1, determine partial fpartial x(x0, y0) e partial fpartial y(x0, y0).

Passo 1

O enunciado dá derivadas direcionais de uma função diferenciável f(x,y) nos vetores vec v1=(tfracraiz22,tfracraiz22) e vec v2=(-tfracraiz22,tfracraiz22), e pede as derivadas parciais fx e fy no ponto (x0,y0). O conteúdo é derivada direcional e gradiente, e vamos precisar da relação tfracpartial fpartialvec v=nabla fcdotvec v junto com álgebra de sistemas.

Passo 2

A relação entre derivada direcional e gradiente é
partial fpartialvec v(x0,y0)=nabla f(x0,y0)cdotvec v = fx(x0,y0),vx + fy(x0,y0),vy

Passo 3

Substituindo vec v1 e vec v2 e os valores dados, obtemos o sistema
tfracraiz22,fx + tfracraiz22,fy = tfrac12, -tfracraiz22,fx + tfracraiz22,fy = 1

Passo 4

Para resolver, defina a=tfracraiz22. Então
a(fx+fy)=tfrac12Rightarrow fx+fy=tfrac1raiz2,
a(-fx+fy)=1Rightarrow -fx+fy=tfrac1a=tfrac2raiz2=raiz2
Somando as duas equações:
2fy=tfrac1raiz2+raiz2=tfrac3raiz2Rightarrow fy=tfrac32raiz2
Subtraindo a segunda da primeira:
2fx=tfrac1raiz2-raiz2=-tfrac1raiz2Rightarrow fx=-tfrac12raiz2

Resposta

partial fpartial x(x0,y0)=-12raiz2=-raiz24, partial fpartial y(x0,y0)=32raiz2=3raiz24

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