Seja f: R R uma função diferenciável e considere g(x, y, z)=f(r) onde r=|(x, y, z)|. Verifique que
x partial gpartial x+y partial gpartial y+z partial gpartial z=r f^prime(r)

Passo 1

Beleza, o que o enunciado fala é o seguinte: temos uma função f: ℝ→ℝ diferenciável e definimos
g(x,y,z);=;f(r),onde r=|(x,y,z)|=raizx^2+y^2+z^2,
O objetivo é mostrar que
x,partial gpartial x + y,partial gpartial y + z,partial gpartial z = r,f'(r),
Conteúdo que vamos usar: regra da cadeia para derivadas parciais e como derivar a distância r=raizx^2+y^2+z^2.

Passo 2

Primeiro, achamos partial g/partial x. Como g(x,y,z)=f(r), a regra da cadeia diz
partial gpartial x = f'(r),partial rpartial x
Agora derivamos r=(x^2+y^2+z^2)^1/2 em relação a x:
partial rpartial x =12(x^2+y^2+z^2)^-1/2cdot 2x =xr
Logo
partial gpartial x = f'(r),xr

Passo 3

De maneira idêntica, para as outras variáveis:
partial gpartial y = f'(r),yr, partial gpartial z = f'(r),zr
É sempre a mesma ideia: regra da cadeia + derivada de r.

Passo 4

Basta agora montar a combinação pedida:
xpartial gpartial x + ypartial gpartial y + zpartial gpartial z = x!l(f'(r)tfracxrr) + y!l(f'(r)tfracyrr) + z!l(f'(r)tfraczrr)
Colocando f'(r)/r em evidência:
= f'(r)r,(x^2+y^2+z^2) = f'(r)r,r^2 = r,f'(r)

Resposta

x,partial gpartial x + y,partial gpartial y + z,partial gpartial z = r,f'(r)

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