A função f(x, y)=llx y^2x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0) é contínua em (0,0) ? Será que f é diferenciável em R^2 ?

Passo 1

Beleza, o exercício diz que
A gente precisa ver duas coisas: (1) se é contínua em e (2) se é diferenciável em .
Conteúdo: definição de limite e continuidade em várias variáveis, definição de diferenciabilidade, derivadas parciais, teste da “reta” para o resto. Vamos usar desigualdades para estimar limites e lembrar que quociente de polinômios (com denominador não nulo) é diferenciável.

Passo 2

Verificando continuidade em (0,0).
Definição: f é contínua em (0,0) se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
Para (x,y)neq(0,0),
l|f(x,y)r| =|x,y^2x^2+y^2| =|x|,y^2x^2+y^2
Note que y^2<= x^2+y^2, logo
|x|,y^2x^2+y^2<=|x|,(x^2+y^2)x^2+y^2=|x|
Como (x,y)to(0,0) implica |x|to0, segue
|f(x,y)|<=|x|;xrightarrow[(x,y)to(0,0)];0
Portanto lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0 e f é contínua em (0,0).

Passo 3

Analisando diferenciabilidade em .
Definição: é diferenciável em se existir aplicação linear tal que
Os coeficientes são as derivadas parciais em :
Então . O resto é
Se escolhermos o caminho , dá
que não tende a 0 quando . Isso mostra que a condição de diferenciabilidade falha em .

Passo 4

Para qualquer ponto (x,y)neq(0,0) temos x^2+y^2>0, então f(x,y) é quociente de funções polinomiais diferenciáveis com denominador não nulo. Assim f é diferenciável em todo (x,y)neq(0,0).

Resposta

  1. Sim, é contínua em .
  2. não é diferenciável em , embora seja diferenciável em todos os outros pontos de . Portanto, não é diferenciável em toda .

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