A função é contínua em (0,0) ? Será que f é diferenciável em R^2 ?
Passo 1
Beleza, o exercício diz que
A gente precisa ver duas coisas: (1) se é contínua em e (2) se é diferenciável em .
Conteúdo: definição de limite e continuidade em várias variáveis, definição de diferenciabilidade, derivadas parciais, teste da “reta” para o resto. Vamos usar desigualdades para estimar limites e lembrar que quociente de polinômios (com denominador não nulo) é diferenciável.
Passo 2
Verificando continuidade em (0,0).
Definição: f é contínua em (0,0) se
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0)=0
Para (x,y)neq(0,0),
l|f(x,y)r| =|x,y^2x^2+y^2| =|x|,y^2x^2+y^2
Note que y^2<= x^2+y^2, logo
|x|,y^2x^2+y^2<=|x|,(x^2+y^2)x^2+y^2=|x|
Como (x,y)to(0,0) implica |x|to0, segue
|f(x,y)|<=|x|;xrightarrow[(x,y)to(0,0)];0
Portanto lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0 e f é contínua em (0,0).
Passo 3
Analisando diferenciabilidade em .
Definição: é diferenciável em se existir aplicação linear tal que
Os coeficientes são as derivadas parciais em :
Então . O resto é
Se escolhermos o caminho , dá
que não tende a 0 quando . Isso mostra que a condição de diferenciabilidade falha em .
Passo 4
Para qualquer ponto (x,y)neq(0,0) temos x^2+y^2>0, então f(x,y) é quociente de funções polinomiais diferenciáveis com denominador não nulo. Assim f é diferenciável em todo (x,y)neq(0,0).
Resposta
Sim, é contínua em .
não é diferenciável em , embora seja diferenciável em todos os outros pontos de . Portanto, não é diferenciável em toda .