Sejam alpha e beta dois números reais e considere a equação diferencial de segunda ordem
y^prime prime+alpha y^prime+beta y=0
c) ( 1,0 pt ) Apresente um valor de (alpha, beta) de forma que a solução geral da equação associada a esses valores seja y(x)=C1 e^4 x cos (6 x)+C2 e^4 x sin (6 x).

Passo 1

O enunciado nos dá dois números reais alpha e beta e a equação diferencial de segunda ordem
y'' + alpha y' + beta y = 0
e pede um par (alpha,beta) tal que a solução geral seja
y(x)=C1e^4xcos(6x)+C2e^4xsin(6x)
O conteúdo envolve EDOs lineares com coeficientes constantes e raízes complexas; vamos usar a equação característica e a relação entre suas raízes e os coeficientes.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada à EDO:
r^2 + alpha r + beta = 0
Sabemos que, se as raízes forem r= lambda pm imu, a solução geral é
y(x)=C1e^lambda xcos(mu x)+C2e^lambda xsin(mu x)
Queremos que lambda=4 e mu=6.

Passo 3

Logo, o polinômio cuja raízes são 4pm6i é
(r - (4+6i)),(r - (4-6i)) = 0,
e expandindo temos
(r-4)^2 - (6i)^2 = r^2 - 8r + 16 + 36 = r^2 - 8r + 52

Passo 4

Comparando com r^2 + alpha r + beta vemos que
alpha = -8, beta = 52

Resposta

(alpha,beta)=(-8,,52)

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