Seja a função diferenciável z=z(x, y) definida implicitamente pela equação
x y z y^3+x y+x^3+z^3=5
Expresse partial zpartial x em termos de x, y e z.

Passo 1

O enunciado define implicitamente z=z(x,y) pela equação
x,y^4z ;+; x,y ;+; x^3 ;+; z^3 ;=; 5
Queremos partial zpartial x. A técnica é a diferenciação implícita: definimos
F(x,y,z)=x,y^4z + x,y + x^3 + z^3-5
e usamos
partial Fpartial x + partial Fpartial z,partial zpartial x=0

Passo 2

Calculamos partial Fpartial x, tratando z como constante:
partial Fpartial x =partialpartial xl(x,y^4z + x,y + x^3 + z^3-5r) =y^4z + y + 3x^2

Passo 3

Calculamos partial Fpartial z, tratando x como constante:
partial Fpartial z =partialpartial zl(x,y^4z + x,y + x^3 + z^3-5r) =x,y^4 + 3z^2

Passo 4

Aplicamos a fórmula da diferenciação implícita:
partial zpartial x =- partial Fpartial x partial Fpartial z =-y^4z + y + 3x^2x,y^4 + 3z^2

Resposta

partial zpartial x =-y^4z + y + 3x^2x,y^4 + 3z^2

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