11-32 Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, y, z)=x^2 e^y z

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y,z)=x^2e^yz
O conteúdo aqui é derivação parcial, que consiste em tratar todas as variáveis exceto aquela em que estamos derivando como constantes, usando as regras de derivação de produto e cadeia.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, tratamos y e z como constantes. A função é o produto de x^2 por e^yz, mas e^yz independe de x. Logo, aplicamos a regra do produto simples:
partial fpartial x =ddxl(x^2r)cdot e^yz =2x,e^yz

Passo 3

Para calcular partial fpartial y, tratamos x e z como constantes. Aqui x^2 é constante e e^yz depende de y. Usamos a regra da cadeia: a derivada de e^yz em relação a y é e^yz vezes a derivada de yz em relação a y, que é z. Assim,
partial fpartial y =x^2,ddyl(e^yzr) =x^2,e^yzcdot z =x^2z,e^yz

Passo 4

Para calcular partial fpartial z, o raciocínio é análogo ao de y. Tratamos x e y como constantes, e derivamos e^yz em relação a z, obtendo e^yz vezes ddz(yz)=y. Portanto,
partial fpartial z =x^2,e^yzcdot y =x^2y,e^yz

Resposta

partial fpartial x=2x,e^yz
partial fpartial y=x^2z,e^yz
partial fpartial z=x^2y,e^yz

Exercícios relacionados