Suponha que a função diferenciável z=g(x, y) seja dada implicitamente pela f(x, y, z)=0, onde f é diferenciável em um aberto de R^3. Verifique que
partial zpartial x=-partial fpartial x(x, y, z)partial fpartial z(x, y, z),
desde que partial fpartial z(x, y, g(x, y)) neq 0.

Passo 1

O enunciado diz que z=g(x,y) está definido implicitamente pela equação
f(x,y,z)=0,
com f diferenciável em um aberto de R^3 e que partial fpartial z(x,y,g(x,y))neq0.
O que precisamos é usar a regra da cadeia para derivar f(x,y,z(x,y))=0 em relação a x e, em seguida, isolar partial z/partial x.

Passo 2

Como f(x,y,z(x,y))equiv0, derivando ambos os lados em relação a x (mantendo y constante) e aplicando a regra da cadeia, temos
0 ;=; partialpartial xl[f(x,y,z(x,y))r] ;=; partial fpartial x(x,y,z) ;+; partial fpartial z(x,y,z),partial zpartial x

Passo 3

Isolando partial zpartial x, obtemos
partial fpartial z(x,y,z),partial zpartial x = -,partial fpartial x(x,y,z),
e, como partial fpartial z(x,y,z)neq0, divide-se por este fator para chegar à fórmula desejada:

Resposta

partial zpartial x = -, partial fpartial x(x,y,z) partial fpartial z(x,y,z)

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