Questão 5 (1,5 ponto) Calcule o fluxo do campo vetorial F(x, y, z)=(x, y, z) através da esfera S de raio R>0 centrada na origem e orientada com o campo normal unitário apontando para fora.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcular o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = (x, y, z) através de uma esfera S de raio R centrada na origem, com a orientação normal apontando para fora. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, que conecta o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema da Divergência. Ele diz que o fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície fechada S é igual à integral da divergência de F sobre o volume V limitado por S. Matematicamente, isso é representado por:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV (nabla cdot F) , dV
Aqui, n é o vetor normal unitário à superfície S.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de F. A divergência de um campo vetorial F(x, y, z) = (Fx, Fy, Fz) é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
No nosso caso, F(x, y, z) = (x, y, z), então:
nabla cdot F = partial xpartial x + partial ypartial y + partial zpartial z = 1 + 1 + 1 = 3

Passo 4

Agora que temos a divergência, vamos calcular a integral de volume. A esfera S tem raio R, então o volume V da esfera é:
V = 43 pi R^3
Como a divergência nabla cdot F é constante e igual a 3, a integral de volume fica:
integral triplaV (nabla cdot F) , dV = 3 times 43 pi R^3 = 4 pi R^3

Resposta

O fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = (x, y, z) através da esfera S é igual a 4pi R^3.

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