Questão 5 (1,5 ponto) Calcule o fluxo do campo vetorial
através da esfera
de raio
centrada na origem e orientada com o campo normal unitário apontando para fora.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para calcular o fluxo do campo vetorial
através de uma esfera
de raio
centrada na origem, com a orientação normal apontando para fora. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, que conecta o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume limitado pela superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema da Divergência. Ele diz que o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície fechada
é igual à integral da divergência de
sobre o volume
limitado por
. Matematicamente, isso é representado por:
Aqui,
é o vetor normal unitário à superfície
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Agora que temos a divergência, vamos calcular a integral de volume. A esfera
tem raio
, então o volume
da esfera é:
Como a divergência
é constante e igual a 3, a integral de volume fica:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da esfera
é igual a
.