Seja
uma função diferenciável, em que
e
são também funções diferenciáveis.
Escreva a Regra da Cadeia para as derivadas parciais
e
.
Escreva a Regra da Cadeia para as derivadas parciais
Passo 1
O enunciado pede para usar a regra da cadeia em variáveis parciais. Temos uma função composta
, onde
e
são diferenciáveis. Para encontrar
,
e
, vamos aplicar a ideia de que, ao variar uma dessas variáveis (por exemplo
), tanto
quanto
mudam, e cada um contribui para a variação de
.
Passo 2
Para obter
, consideramos
e
fixos e vemos que a variação de
em relação a
passa pela variação de
e de
. Pela regra da cadeia, temos:
Passo 3
De modo análogo, para
fixamos
e
. A contribuição total vem da mudança em
e em
quando
varia. Assim,
Passo 4
Finalmente, para
fixamos
e
. De novo, cada caminho
e
gera uma parte da variação de
. Logo,