Seja R=R(u, v) uma função diferenciável, em que u=u(x, y, z) e v=v(x, y, z) são também funções diferenciáveis.
Escreva a Regra da Cadeia para as derivadas parciais partial Rpartial x, partial Rpartial y e partial Rpartial z.

Passo 1

O enunciado pede para usar a regra da cadeia em variáveis parciais. Temos uma função composta R=R(u,v), onde u=u(x,y,z) e v=v(x,y,z) são diferenciáveis. Para encontrar partial Rpartial x, partial Rpartial y e partial Rpartial z, vamos aplicar a ideia de que, ao variar uma dessas variáveis (por exemplo x), tanto u quanto v mudam, e cada um contribui para a variação de R.

Passo 2

Para obter partial Rpartial x, consideramos y e z fixos e vemos que a variação de R em relação a x passa pela variação de u e de v. Pela regra da cadeia, temos:
partial Rpartial x =partial Rpartial u,partial upartial x +partial Rpartial v,partial vpartial x

Passo 3

De modo análogo, para partial Rpartial y fixamos x e z. A contribuição total vem da mudança em u e em v quando y varia. Assim,
partial Rpartial y =partial Rpartial u,partial upartial y +partial Rpartial v,partial vpartial y

Passo 4

Finalmente, para partial Rpartial z fixamos x e y. De novo, cada caminho u e v gera uma parte da variação de R. Logo,
partial Rpartial z =partial Rpartial u,partial upartial z +partial Rpartial v,partial vpartial z

Resposta

partial Rpartial x =partial Rpartial u,partial upartial x +partial Rpartial v,partial vpartial x
partial Rpartial y =partial Rpartial u,partial upartial y +partial Rpartial v,partial vpartial y
partial Rpartial z =partial Rpartial u,partial upartial z +partial Rpartial v,partial vpartial z

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