Seja z=3 x^2-4 y^3, em que x=5 s-t e y=e^3 t s. Utilize a Regra da Cadeia para determinar partial zpartial s e partial zpartial t.

Passo 1

Beleza, temos o exercício de derivadas parciais usando a Regra da Cadeia. A gente vai precisar entender como derivar funções que dependem de outras funções. Aqui, z = 3x^2 - 4y^3 , onde x = 5s - t e y = e^3ts . Vamos calcular partial zpartial s e partial zpartial t .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que z é uma função de x e y , que por sua vez são funções de s e t . Isso é importante para aplicar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a encontrar derivadas quando temos funções compostas.

Passo 3

Vamos calcular partial zpartial s . Pela Regra da Cadeia, temos:
partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s
Agora, vamos encontrar cada uma dessas derivadas parciais separadamente.

Passo 4

Primeiro, derivamos z em relação a x e y :
partial zpartial x = ddx(3x^2) - ddx(4y^3) = 6x
Como y é uma função de s e t , a derivada de y^3 em relação a x é zero.
partial zpartial y = ddy(3x^2) - ddy(4y^3) = -12y^2

Passo 5

Agora, vamos derivar x e y em relação a s :
partial xpartial s = partialpartial s(5s - t) = 5
partial ypartial s = partialpartial s(e^3ts) = e^3ts cdot 3t = 3t e^3ts

Passo 6

Substituindo essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia:
partial zpartial s = 6x cdot 5 + (-12y^2) cdot 3t e^3ts = 30x - 36y^2 t e^3ts
Agora, substituímos x = 5s - t e y = e^3ts :
partial zpartial s = 30(5s - t) - 36(e^3ts)^2 t e^3ts = 150s - 30t - 36e^6ts t e^3ts = 150s - 30t - 36t e^9ts

Passo 7

Agora, vamos calcular partial zpartial t seguindo o mesmo processo:
partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t
Derivando x e y em relação a t :
partial xpartial t = partialpartial t(5s - t) = -1
partial ypartial t = partialpartial t(e^3ts) = e^3ts cdot 3s = 3s e^3ts
Substituindo:
partial zpartial t = 6x cdot (-1) + (-12y^2) cdot 3s e^3ts = -6x - 36y^2 s e^3ts
Substituindo x = 5s - t e y = e^3ts :
partial zpartial t = -6(5s - t) - 36(e^3ts)^2 s e^3ts = -30s + 6t - 36s e^6ts e^3ts = -30s + 6t - 36s e^9ts

Resposta

partial zpartial s = 150s - 30t - 36t e^9ts
partial zpartial t = -30s + 6t - 36s e^9ts

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