Seja R=R(u, v) uma função diferenciável, em que u=u(x, y, z) e v=v(x, y, z) são também funções diferenciáveis.
Seja R(u, v)=e^(2 u^2+3 v^2), em que u=3 x+y+z, v=2 x-y-2 z. Utilize a Regra da Cadeia encontrada no item (a) para determinar partial Rpartial x, partial Rpartial y e partial Rpartial z quando x=y=z=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre derivadas parciais usando a Regra da Cadeia. Precisamos encontrar as derivadas parciais de R em relação a x , y e z quando x = y = z = 1 . Para isso, vamos usar a função R(u, v) = e^2u^2 + 3v^2 com u = 3x + y + z e v = 2x - y - 2z . Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra da Cadeia. Ela nos ajuda a encontrar a derivada de uma função composta. Aqui, R depende de u e v , que por sua vez dependem de x , y e z . Então, para achar partial Rpartial x , por exemplo, vamos derivar R em relação a u e v , e depois multiplicar pelas derivadas de u e v em relação a x .

Passo 3

Vamos começar encontrando as derivadas parciais de R em relação a u e v :
partial Rpartial u = ddu ( e^2u^2 + 3v^2 ) = e^2u^2 + 3v^2 cdot 4u
partial Rpartial v = ddv ( e^2u^2 + 3v^2 ) = e^2u^2 + 3v^2 cdot 6v

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de u e v em relação a x , y e z :
partial upartial x = 3, partial upartial y = 1, partial upartial z = 1
partial vpartial x = 2, partial vpartial y = -1, partial vpartial z = -2

Passo 5

Aplicando a Regra da Cadeia, as derivadas parciais de R em relação a x , y e z são:
partial Rpartial x = partial Rpartial u cdot partial upartial x + partial Rpartial v cdot partial vpartial x
partial Rpartial y = partial Rpartial u cdot partial upartial y + partial Rpartial v cdot partial vpartial y
partial Rpartial z = partial Rpartial u cdot partial upartial z + partial Rpartial v cdot partial vpartial z

Passo 6

Agora, substituímos as derivadas que já calculamos:
partial Rpartial x = e^2u^2 + 3v^2 cdot 4u cdot 3 + e^2u^2 + 3v^2 cdot 6v cdot 2
partial Rpartial y = e^2u^2 + 3v^2 cdot 4u cdot 1 + e^2u^2 + 3v^2 cdot 6v cdot (-1)
partial Rpartial z = e^2u^2 + 3v^2 cdot 4u cdot 1 + e^2u^2 + 3v^2 cdot 6v cdot (-2)

Passo 7

Simplificando as expressões:
partial Rpartial x = e^2u^2 + 3v^2 (12u + 12v)
partial Rpartial y = e^2u^2 + 3v^2 (4u - 6v)
partial Rpartial z = e^2u^2 + 3v^2 (4u - 12v)

Passo 8

Agora, vamos substituir x = y = z = 1 nas expressões de u e v :
u = 3(1) + 1 + 1 = 5
v = 2(1) - 1 - 2(1) = -1

Passo 9

Substituindo u = 5 e v = -1 nas derivadas parciais:
partial Rpartial x = e^2(5)^2 + 3(-1)^2 (12 cdot 5 + 12 cdot (-1)) = e^50 + 3 (60 - 12) = e^53 cdot 48
partial Rpartial y = e^50 + 3 (4 cdot 5 - 6 cdot (-1)) = e^53 (20 + 6) = e^53 cdot 26
partial Rpartial z = e^50 + 3 (4 cdot 5 - 12 cdot (-1)) = e^53 (20 + 12) = e^53 cdot 32

Resposta

As derivadas parciais quando x = y = z = 1 são:
partial Rpartial x = 48,e^53
partial Rpartial y = 26,e^53
partial Rpartial z = 32,e^53

Exercícios relacionados