Seja
uma função diferenciável, em que
e
são também funções diferenciáveis.
Seja
, em que
. Utilize a Regra da Cadeia encontrada no item (a) para determinar
e
quando
.
Seja
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre derivadas parciais usando a Regra da Cadeia. Precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
quando
. Para isso, vamos usar a função
com
e
. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra da Cadeia. Ela nos ajuda a encontrar a derivada de uma função composta. Aqui,
depende de
e
, que por sua vez dependem de
,
e
. Então, para achar
, por exemplo, vamos derivar
em relação a
e
, e depois multiplicar pelas derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos começar encontrando as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
,
e
:
Passo 5
Aplicando a Regra da Cadeia, as derivadas parciais de
em relação a
,
e
são:
Passo 6
Agora, substituímos as derivadas que já calculamos:
Passo 7
Simplificando as expressões:
Passo 8
Agora, vamos substituir
nas expressões de
e
:
Passo 9
Substituindo
e
nas derivadas parciais:
Resposta
As derivadas parciais quando
são: