Via linearização apropriada encontre uma aproximação para 5 raiz3.001^2+4.001^2. Justifique a diferenciabilidade da função utilizada no ponto em torno do qual é feita a linearização.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa usar a linearização, que é uma técnica de cálculo para aproximar o valor de uma função próximo a um ponto específico. No caso, queremos encontrar uma aproximação para 5 raiz3.001^2 + 4.001^2. Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta perto de um ponto conhecido e aplicar a linearização para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que estamos lidando. Temos $ f(x, y) = 5 \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Queremos aproximar essa função em torno do ponto f(x, y) = 5 raizx^2 + y^2 , já que (3, 4) está perto de 3.001 e 3 está perto de 4.001.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor da função no ponto (3, 4):
f(3, 4) = 5 raiz3^2 + 4^2 = 5 raiz9 + 16 = 5 raiz25 = 5 times 5 = 25
Então, sabemos que no ponto (3, 4), a função vale 25.

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar as derivadas parciais da função f(x, y) em relação a x e y. Isso é importante porque a linearização usa as derivadas para aproximar a função:
fx = partial fpartial x = 5xraizx^2 + y^2
fy = partial fpartial y = 5yraizx^2 + y^2
Calculando no ponto (3, 4):
fx(3, 4) = 5 times 35 = 3
fy(3, 4) = 5 times 45 = 4

Passo 5

Agora, vamos montar a equação da linearização. A fórmula geral da linearização de f em torno do ponto (a, b) é:
L(x, y) = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
Substituindo a = 3, b = 4, f(a, b) = 25, fx(a, b) = 3 e fy(a, b) = 4:
L(x, y) = 25 + 3(x - 3) + 4(y - 4)

Passo 6

Agora, vamos usar a linearização para aproximar f(3.001, 4.001):
L(3.001, 4.001) = 25 + 3(3.001 - 3) + 4(4.001 - 4) = 25 + 3(0.001) + 4(0.001) = 25 + 0.003 + 0.004 = 25.007

Resposta

A aproximação para 5 raiz3.001^2 + 4.001^2 usando linearização é 25.007. Além disso, a função f(x, y) = 5 raizx^2 + y^2 é diferenciável no ponto (3, 4) porque suas derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto, permitindo o uso da linearização para uma boa aproximação.

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