Via linearização apropriada encontre uma aproximação para
. Justifique a diferenciabilidade da função utilizada no ponto em torno do qual é feita a linearização.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa usar a linearização, que é uma técnica de cálculo para aproximar o valor de uma função próximo a um ponto específico. No caso, queremos encontrar uma aproximação para
. Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta perto de um ponto conhecido e aplicar a linearização para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que estamos lidando. Temos $ f(x, y) = 5 \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Queremos aproximar essa função em torno do ponto
, já que
está perto de
e
está perto de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor da função no ponto
:
Então, sabemos que no ponto
, a função vale 25.
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
. Isso é importante porque a linearização usa as derivadas para aproximar a função:
Calculando no ponto
:
Passo 5
Agora, vamos montar a equação da linearização. A fórmula geral da linearização de
em torno do ponto
é:
Substituindo
,
,
,
e
:
Passo 6
Agora, vamos usar a linearização para aproximar
:
Resposta
A aproximação para
usando linearização é 25.007. Além disso, a função
é diferenciável no ponto
porque suas derivadas parciais existem e são contínuas nesse ponto, permitindo o uso da linearização para uma boa aproximação.