Seja f uma função diferenciável em P tal que se w=f(x, y) a derivada de w no ponto P na direção tildev=lang<= 2,3rang<= é 2 raiz2, e na direção tildev=lang<= 1,0rang<= é -3 . Qual é a derivada de w em P na direção tildev=lang<=-1,2rang<= ?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma função f(x,y) diferenciável em P. Sabemos que a derivada direcional em P na direção de lang<=2,3rang<= é 2raiz2 e na direção de lang<=1,0rang<= é -3. Precisamos encontrar a derivada direcional em P na direção de lang<=-1,2rang<=. O conteúdo aqui é derivada direcional, e vamos precisar do gradiente e do produto interno com vetores unitários.

Passo 2

Recordando a fórmula: a derivada direcional de w=f(x,y) em P na direção de um vetor tilde v dado por lang<= a,b rang<= é nabla f(P)cdot u, em que u=tilde v/|tilde v| é o vetor unitário. Além disso, nabla f(P)=lang<= fx(P), fy(P)rang<=.

Passo 3

Na direção de lang<=1,0rang<= o vetor já é unitário ( |lang<=1,0rang<=|=1), logo a derivada direcional é nabla f(P)cdotlang<=1,0rang<==fx(P). Como foi dado que esse valor é -3, temos
fx(P)=-3

Passo 4

Na direção de lang<=2,3rang<= o vetor unitário é
u=1raiz13lang<=2,3rang<=
Então a derivada direcional é
nabla f(P)cdot u = 1raiz13l(2fx(P)+3fy(P)r)
Como isso vale 2raiz2 e já sabemos fx(P)=-3, temos
1raiz13l(2(-3)+3fy(P)r)=2raiz2
Multiplicando por raiz13 e isolando fy(P) resulta
2(-3)+3fy(P)=2raiz2,raiz13=2raiz26,
-6+3fy(P)=2raiz26,
fy(P)=2raiz26+63

Passo 5

Para a direção lang<=-1,2rang<= o vetor unitário é
u=1raiz5lang<=-1,2rang<=
A derivada direcional desejada é
nabla f(P)cdot u = 1raiz5l(fx(P)cdot(-1)+fy(P)cdot2r)
Substituindo fx(P)=-3 e fy(P)=2raiz26+63, obtemos
1raiz5l((-3)(-1)+2cdot2raiz26+63r) = 1raiz5l(3+4raiz26+123r) = 1raiz5cdot9+4raiz26+123 = 4raiz26+213raiz5

Resposta

4raiz26+213raiz5

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