Seja
uma função diferenciável em
tal que se
a derivada de
no ponto
na direção
é
, e na direção
é -3 . Qual é a derivada de
em
na direção
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos uma função f(x,y) diferenciável em P. Sabemos que a derivada direcional em P na direção de
é
e na direção de
é
. Precisamos encontrar a derivada direcional em P na direção de
. O conteúdo aqui é derivada direcional, e vamos precisar do gradiente e do produto interno com vetores unitários.
Passo 2
Recordando a fórmula: a derivada direcional de w=f(x,y) em P na direção de um vetor
dado por
é
, em que
é o vetor unitário. Além disso,
.
Passo 3
Na direção de
o vetor já é unitário (
), logo a derivada direcional é
. Como foi dado que esse valor é
, temos
Passo 4
Na direção de
o vetor unitário é
Então a derivada direcional é
Como isso vale
e já sabemos
, temos
Multiplicando por
Passo 5
Para a direção
o vetor unitário é
A derivada direcional desejada é
Substituindo
e
, obtemos