Seja X uma v.a. com função de distribuição dada por:
F(x)=\left\{\begin{array}{cc}0, & x<0 \\\ \frac{x}{2}, & 0 \leq x<1 \\\ \frac{2}{3}, & 1 \leq x<2 \\\ \frac{11}{12} & 2 \leq x<3 \\\\ 1 & x \geq 3\end{array}\right.
Determine:
c) P(X=1));

Passo 1

O enunciado dá a função de distribuição (CDF) de \,X\) por \[F(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\\ \dfrac{x}{2}, & 0\le x<1,\\\ \dfrac{2}{3}, & 1\le x<2,\\\ \dfrac{11}{12}, & 2\le x<3,\\\\ 1, & x\ge3. \end{cases}
E pede \,P(X=1)\]. Lembrando que, em geral, \[P(X=a)\;=\;F(a)-\lim_{x\to a^-}F(x),\] isto é, o tamanho do salto de \(F em a.

Passo 2

Calcular \lim_{x\to1^-}F(x). Para 0\le x<1 vale F(x)=\tfrac{x}{2}, então
\lim_{x\to1^-}F(x) =\lim_{x\to1^-}\frac{x}{2} =\frac{1}{2}.

Passo 3

Observar F(1). Como para 1\le x<2 temos F(x)=\tfrac{2}{3}, segue que
F(1)=\frac{2}{3}.

Passo 4

Aplicar a fórmula do salto:
P(X=1) =F(1)-\lim_{x\to1^-}F(x) =\frac{2}{3}-\frac{1}{2} =\frac{4-3}{6} =\frac{1}{6}.

Resposta

P(X=1)=\frac{1}{6}.

Exercícios relacionados