Encontre o ponto sobre a esfera
que está mais próximo do ponto
(5, 5, 4). E o ponto mais distante do ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a esfera
e o ponto
. Pede dois pontos sobre a esfera:
- o ponto sobre a esfera que está mais próximo de
, e - o ponto sobre a esfera que está mais distante de
.
Informações relevantes: a esfera é centrada na origeme tem raio . O ponto tem coordenadas .
Passo 2
Escolha do método (explicação informal e motivo): uma maneira geométrica muito direta é perceber que, para uma esfera centrada na origem, os pontos mais próximos e mais distantes de um ponto externo ficam na direção do vetor que liga a origem a esse ponto (ou na direção oposta). Formalmente, podemos achar os pontos extremais resolvendo um problema de otimização com restrição; o método de multiplicadores de Lagrange é simples e algébrico, e confirma a intuição geométrica. Vou mostrar os dois: primeiro a intuição geométrica curta, depois o procedimento com Lagrange para você ver a conta passo a passo.
Passo 3
Intuição geométrica (curta): o vetor que aponta da origem para
é
. Qualquer ponto da esfera pode ser escrito como um vetor
tal que
. Se você varia
sobre a esfera, a distância entre
e
é mínima quando
está exatamente na mesma direção de
(ou máxima quando está na direção oposta). Portanto os candidatos são vetores colineares com
e de norma
, isto é,
com
(pois
). Isso já indica os dois pontos possíveis:
e
. Agora vamos fazer a derivação algébrica com Lagrange para fixar a ideia e determinar qual é o mínimo e qual é o máximo.
Passo 4
Configuração do problema com Lagrange: queremos minimizar/maximizar a função distância ao quadrado (mais fácil trabalhar com quadrado da distância):
A restrição é a esfera:
Usamos multiplicadores de Lagrange: procurar
e
tais que
Passo 5
Calcular gradientes: derivadas parciais de
e
.
A condição
fica
Podemos simplificar dividindo por
:
Passo 6
Das equações obtidas, reorganizamos:
Se
então o lado esquerdo seria zero e não poderia igualar
ou
; portanto
. Assim podemos escrever
Isso mostra que
, ou seja,
é colinear com
, confirmando a intuição.
Passo 7
Substituímos essa forma na restrição
. Escrevendo
(constante de proporcionalidade), temos
e impondo a restrição
Isso dá
Como
, obtemos
Logo
Passo 8
Portanto os dois pontos candidatos sobre a esfera são (substituindo
):
Passo 9
Determinar qual é o mais próximo e qual é o mais distante: comparemos as distâncias ao quadrado de
a cada candidato. Seja
e
. Então
Como
, temos
. Para
temos
, e para
temos
. Portanto o valor com
dá a distância menor, ou seja é o ponto mais próximo; o ponto com
dá a distância maior, ou seja é o ponto mais distante.
Passo 10
Interpretação final e incentivo: pronto — saiu certinho. Geometricamente isso significa que o ponto mais próximo é o ponto da esfera que fica na mesma direção do ponto
a partir da origem (o “projetado” sobre a esfera), e o mais distante é exatamente o oposto. É uma propriedade muito útil: para uma esfera centrada na origem, extremizar distância a um ponto externo só pede alinhar vetores.