Encontre o ponto sobre a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 que está mais próximo do ponto P= (5, 5, 4). E o ponto mais distante do ponto P.

Passo 1

O enunciado dá a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 e o ponto P=(5,5,4). Pede dois pontos sobre a esfera:
  1. o ponto sobre a esfera que está mais próximo de P, e
  2. o ponto sobre a esfera que está mais distante de P.
    Informações relevantes: a esfera é centrada na origem (0,0,0) e tem raio 1. O ponto P tem coordenadas (5,5,4).

Passo 2

Escolha do método (explicação informal e motivo): uma maneira geométrica muito direta é perceber que, para uma esfera centrada na origem, os pontos mais próximos e mais distantes de um ponto externo ficam na direção do vetor que liga a origem a esse ponto (ou na direção oposta). Formalmente, podemos achar os pontos extremais resolvendo um problema de otimização com restrição; o método de multiplicadores de Lagrange é simples e algébrico, e confirma a intuição geométrica. Vou mostrar os dois: primeiro a intuição geométrica curta, depois o procedimento com Lagrange para você ver a conta passo a passo.

Passo 3

Intuição geométrica (curta): o vetor que aponta da origem para P é \vec{OP}=(5,5,4). Qualquer ponto da esfera pode ser escrito como um vetor \vec{r}=(x,y,z) tal que \|\vec{r}\|=1. Se você varia \vec{r} sobre a esfera, a distância entre P e \vec{r} é mínima quando \vec{r} está exatamente na mesma direção de \vec{OP} (ou máxima quando está na direção oposta). Portanto os candidatos são vetores colineares com (5,5,4) e de norma 1, isto é, \vec{r}=k(5,5,4) com k=\pm 1/\sqrt{66} (pois 5^{2}+5^{2}+4^{2}=66). Isso já indica os dois pontos possíveis: \left(\dfrac{5}{\sqrt{66}},\dfrac{5}{\sqrt{66}},\dfrac{4}{\sqrt{66}}\right) e \left(-\dfrac{5}{\sqrt{66}},-\dfrac{5}{\sqrt{66}},-\dfrac{4}{\sqrt{66}}\right). Agora vamos fazer a derivação algébrica com Lagrange para fixar a ideia e determinar qual é o mínimo e qual é o máximo.

Passo 4

Configuração do problema com Lagrange: queremos minimizar/maximizar a função distância ao quadrado (mais fácil trabalhar com quadrado da distância):
f(x,y,z)=(x-5)^{2}+(y-5)^{2}+(z-4)^{2}.
A restrição é a esfera:
g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0.
Usamos multiplicadores de Lagrange: procurar (x,y,z) e \lambda tais que
\nabla f = \lambda \nabla g.

Passo 5

Calcular gradientes: derivadas parciais de f e g.
\nabla f = \bigl(2(x-5),\,2(y-5),\,2(z-4)\bigr),
\nabla g = \bigl(2x,\,2y,\,2z\bigr).
A condição \nabla f=\lambda\nabla g fica
2(x-5)=\lambda 2x,\qquad 2(y-5)=\lambda 2y,\qquad 2(z-4)=\lambda 2z.
Podemos simplificar dividindo por 2:
x-5=\lambda x,\qquad y-5=\lambda y,\qquad z-4=\lambda z.

Passo 6

Das equações obtidas, reorganizamos:
x(1-\lambda)=5,\qquad y(1-\lambda)=5,\qquad z(1-\lambda)=4.
Se 1-\lambda=0 então o lado esquerdo seria zero e não poderia igualar 5 ou 4; portanto 1-\lambda\neq0. Assim podemos escrever
x=\frac{5}{1-\lambda},\qquad y=\frac{5}{1-\lambda},\qquad z=\frac{4}{1-\lambda}.
Isso mostra que x:y:z=5:5:4, ou seja, (x,y,z) é colinear com (5,5,4), confirmando a intuição.

Passo 7

Substituímos essa forma na restrição x^{2}+y^{2}+z^{2}=1. Escrevendo k=\dfrac{1}{1-\lambda} (constante de proporcionalidade), temos
x=5k,\quad y=5k,\quad z=4k,
e impondo a restrição
(5k)^{2}+(5k)^{2}+(4k)^{2}=1.
Isso dá
k^{2}(25+25+16)=1.
Como 25+25+16=66, obtemos
k^{2}\cdot 66=1 \quad\Rightarrow\quad k^{2}=\frac{1}{66}.
Logo
k=\pm\frac{1}{\sqrt{66}}.

Passo 8

Portanto os dois pontos candidatos sobre a esfera são (substituindo k):
\left(\frac{5}{\sqrt{66}},\frac{5}{\sqrt{66}},\frac{4}{\sqrt{66}}\right) \quad\text{e}\quad \left(-\frac{5}{\sqrt{66}},-\frac{5}{\sqrt{66}},-\frac{4}{\sqrt{66}}\right).

Passo 9

Determinar qual é o mais próximo e qual é o mais distante: comparemos as distâncias ao quadrado de P a cada candidato. Seja \vec{p}=(5,5,4) e \vec{r}=k\vec{p}. Então
\|\vec{p}-\vec{r}\|^{2}=\|(1-k)\vec{p}\|^{2}=(1-k)^{2}\|\vec{p}\|^{2}.
Como \|\vec{p}\|^{2}=66, temos \|\vec{p}-\vec{r}\|^{2}=66(1-k)^{2}. Para k=+\dfrac{1}{\sqrt{66}} temos 1-k<1, e para k=-\dfrac{1}{\sqrt{66}} temos 1-k>1. Portanto o valor com k=+\dfrac{1}{\sqrt{66}} dá a distância menor, ou seja é o ponto mais próximo; o ponto com k=-\dfrac{1}{\sqrt{66}} dá a distância maior, ou seja é o ponto mais distante.

Passo 10

Interpretação final e incentivo: pronto — saiu certinho. Geometricamente isso significa que o ponto mais próximo é o ponto da esfera que fica na mesma direção do ponto P a partir da origem (o “projetado” sobre a esfera), e o mais distante é exatamente o oposto. É uma propriedade muito útil: para uma esfera centrada na origem, extremizar distância a um ponto externo só pede alinhar vetores.

Resposta

\left(\dfrac{5}{\sqrt{66}},\dfrac{5}{\sqrt{66}},\dfrac{4}{\sqrt{66}}\right) (ponto mais próximo)
\left(-\dfrac{5}{\sqrt{66}},-\dfrac{5}{\sqrt{66}},-\dfrac{4}{\sqrt{66}}\right) (ponto mais distante)

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