Seja a função
, de
em
, definida por
. A raiz da equação
é um número real
tal que:
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
Então, temos a função $ f(x) = 3x - 2 $ e queremos encontrar o valor real de $ x $ que satisfaz a equação $ f(f(x)) = 0 $. Estamos lidando com composição de funções, que faz parte do estudo de funções na matemática. Para resolver isso, vamos precisar substituir a função dentro dela mesma e resolver a equação resultante passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ f(f(x)) $. Isso significa que vamos aplicar a função $ f $ duas vezes. Então, vamos calcular $ f(f(x)) $:
Passo 3
Agora, substituímos $ 3x - 2 $ na função $ f $:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Então, $ f(f(x)) = 9x - 8 $.
Passo 5
Agora, queremos que $ f(f(x)) = 0 $:
Para encontrar $ x $, vamos resolver essa equação.
Passo 6
Resolvendo para $ x $:
Passo 7
Então, encontramos que $ x = \frac{8}{9} $.
Agora, vamos verificar em qual intervalo $ \frac{8}{9} $ se encaixa entre as opções fornecidas.
Sabemos que:
Comparando com as opções, vemos que:
$ 0 \leq \frac{8}{9} \leq \frac{1}{3} $ está incorreto, porque $ \frac{8}{9} $ é maior que $ \frac{1}{3} $.
$ \frac{1}{3} < \frac{8}{9} \leq 1 $ está correto.
Resposta
A opção C) $ \frac{1}{3} < x \leq 1 $ é a correta.