Seja a função f, de R em R, definida por f(x)=3 x-2. A raiz da equação f(f(x))=0 é um número real x tal que:
A) x <= 0
B) 0 <= x <= 1 / 3
C) 1 / 3
D) 1
E) x>8 / 3

Passo 1

Então, temos a função $ f(x) = 3x - 2 $ e queremos encontrar o valor real de $ x $ que satisfaz a equação $ f(f(x)) = 0 $. Estamos lidando com composição de funções, que faz parte do estudo de funções na matemática. Para resolver isso, vamos precisar substituir a função dentro dela mesma e resolver a equação resultante passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ f(f(x)) $. Isso significa que vamos aplicar a função $ f $ duas vezes. Então, vamos calcular $ f(f(x)) $:
f(f(x))

Passo 3

Agora, substituímos $ 3x - 2 $ na função $ f $:
3x - 2

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
3(3x - 2) - 2 = 9x - 6 - 2 = 9x - 8
Então, $ f(f(x)) = 9x - 8 $.

Passo 5

Agora, queremos que $ f(f(x)) = 0 $:
f(f(x)) = 0
Para encontrar $ x $, vamos resolver essa equação.

Passo 6

Resolvendo para $ x $:
x
9x - 8 = 0
9x = 8

Passo 7

Então, encontramos que $ x = \frac{8}{9} $.
Agora, vamos verificar em qual intervalo $ \frac{8}{9} $ se encaixa entre as opções fornecidas.
Sabemos que:
x = 89
Comparando com as opções, vemos que:
$ 0 \leq \frac{8}{9} \leq \frac{1}{3} $ está incorreto, porque $ \frac{8}{9} $ é maior que $ \frac{1}{3} $.
$ \frac{1}{3} < \frac{8}{9} \leq 1 $ está correto.

Resposta

A opção C) $ \frac{1}{3} < x \leq 1 $ é a correta.

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