Sejam f, g e h funções reais definidas por f(x)=x^{3}, g(x)=x+3 e h(x)=-x^{2}. Determine:
h \circ f(x)

Passo 1

Listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Funções fornecidas:
    • f(x)=x^{3}.
    • g(x)=x+3. (não será usada aqui, mas foi dada)
    • h(x)=-x^{2}.
  • O que o enunciado pede: determinar h\circ f(x), isto é, a composição de h com f.

Passo 2

Entender o que significa composição de funções.
  • A composição h\circ f é a função que aplica primeiro f e depois h.
  • Em notação: (h\circ f)(x)=h\big(f(x)\big).
  • Aqui a variável de entrada é x; vamos calcular f(x) e substituir esse resultado na expressão de h.

Passo 3

Anotar explicitamente as fórmulas que vamos usar para substituir.
  • Sabemos que f(x)=x^{3}.
  • A função h age sobre um argumento qualquer (chamei de u) como h(u)=-u^{2}.
  • Para formar h(f(x)) substitui-se u=f(x) dentro de h(u).

Passo 4

Fazer a substituição e simplificar passo a passo.
  • Substituindo u=f(x)=x^{3} em h(u) obtemos: h\big(f(x)\big) = -\big(f(x)\big)^{2}.
  • Agora substituir f(x)=x^{3}: h\big(f(x)\big) = -\big(x^{3}\big)^{2}.

Passo 5

Aplicar a regra de potências e escrever o resultado final.
  • Regra de potências usada: para qualquer base a e inteiros m,n, vale (a^{m})^{n}=a^{mn}.
  • Aplicando aqui: \big(x^{3}\big)^{2}=x^{3\cdot 2}=x^{6}.
  • Portanto h\big(f(x)\big) = -x^{6}.
  • Observação final: domínio desta composição é todo \mathbb{R}, pois são polinômios definidos para todo x.

Resposta

(h\circ f)(x)=-x^{6}

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