Seja a função f(t)=\operatorname{sen}(5 t), obter a transformada de Laplace \mathcal{L}\left\{f(t)^{\prime}\right\}.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f'(t) onde f(t)=\sin(5t). Este é um tópico de transformada de Laplace de derivadas, para o qual usamos a propriedade
\mathcal{L}\{f'(t)\} \;=\; s\,\mathcal{L}\{f(t)\} \;-\; f(0).
Para aplicar, precisamos de \mathcal{L}\{\sin(5t)\} e do valor inicial f(0).

Passo 2

Calculamos primeiro
f(0) = \sin(5\cdot 0) = 0
e a transformada de Laplace de \sin(5t), que é
\mathcal{L}\{\sin(5t)\} = \frac{5}{s^2 + 5^2} = \frac{5}{s^2 + 25}.

Passo 3

Substituindo na propriedade da derivada, obtemos
\mathcal{L}\{f'(t)\} = s\,\frac{5}{s^2 + 25} \;-\; 0 = \frac{5s}{s^2 + 25}.

Resposta

\mathcal{L}\{f'(t)\} = \frac{5s}{s^2 + 25}.

Exercícios relacionados