Seja a função \mathrm{h}(t)=e^{-2 t} \cos (3 t)-e^{3 t} t^{5}, obter a transformada de Laplace \mathcal{L}\{h(t)\}.

Passo 1

O enunciado nos dá \mathrm{h}(t)=e^{-2t}\cos(3t)-e^{3t}t^5
e pede a transformada de Laplace \mathcal{L}\{h(t)\}. Vamos usar:
– A propriedade de deslocamento na frequência
– O resultado padrão para potências de t

Passo 2

Primeiro termo: \mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(3t)\}. Sabemos que
\mathcal{L}\{\cos(3t)\}=\frac{s}{s^2+9}.
Pela propriedade de deslocamento, se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s) então \mathcal{L}\{e^{at}f(t)\}=F(s-a). Aqui a=-2, logo
\mathcal{L}\{e^{-2t}\cos(3t)\} = \frac{s+2}{(s+2)^2+9}.

Passo 3

Segundo termo: \mathcal{L}\{e^{3t}t^5\}. Sabemos que
\mathcal{L}\{t^5\}=\frac{5!}{s^6}=\frac{120}{s^6}.
Aplicando deslocamento com a=3, temos
\mathcal{L}\{e^{3t}t^5\} = \frac{120}{(s-3)^6}.

Passo 4

Subtraindo os dois resultados:
\mathcal{L}\{h(t)\} = \frac{s+2}{(s+2)^2+9} - \frac{120}{(s-3)^6}.

Resposta

\mathcal{L}\{h(t)\} = \frac{s+2}{(s+2)^2+9} - \frac{120}{(s-3)^6}.

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