Seja a função f(x)=32 x-x(1-x)4. Determine o intervalo em que f(x) é:
Crescente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A gente tem a função $ f(x) = \frac{3}{2}x - \frac{x(1 - x)}{4} $ e precisa descobrir em qual intervalo essa função é crescente. Isso tá ligado ao cálculo, especificamente ao estudo das derivadas para determinar onde a função está aumentando.

Passo 2

Primeiro, pra saber onde a função é crescente, a gente precisa calcular a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos diz a taxa de variação da função; se a derivada for positiva em um intervalo, então a função está crescendo nesse intervalo.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de $ f(x) $. A função é:
f(x)
Podemos simplificar essa expressão antes de derivar:
f(x) = 32x - x(1 - x)4
f(x) = 32x - x - x^24
f(x) = 32x - x4 + x^24
f(x) = (32 - 14)x + x^24
Agora, vamos derivar:
f(x) = 54x + x^24
f'(x) = ddx(54x) + ddx(x^24)
f'(x) = 54 + 2x4

Passo 4

Agora que temos a derivada $ f’(x) = \frac{5}{4} + \frac{x}{2} $, queremos saber onde essa derivada é positiva, porque isso indica que a função está crescendo.
Então, vamos resolver a inequação:
f'(x) = 54 + x2

Passo 5

Vamos isolar o $ x $ na inequação:
x
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
x2 > -54
x > -54 times 2

Resposta

A função $ f(x) = \frac{3}{2}x - \frac{x(1 - x)}{4} $ é crescente para todos os valores de $ x $ maiores que f(x) = 32x - x(1 - x)4 . Ou seja, no intervalo:
x

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