Seja a função
. Determine o intervalo em que
é:
Crescente.
Crescente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A gente tem a função $ f(x) = \frac{3}{2}x - \frac{x(1 - x)}{4} $ e precisa descobrir em qual intervalo essa função é crescente. Isso tá ligado ao cálculo, especificamente ao estudo das derivadas para determinar onde a função está aumentando.
Passo 2
Primeiro, pra saber onde a função é crescente, a gente precisa calcular a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos diz a taxa de variação da função; se a derivada for positiva em um intervalo, então a função está crescendo nesse intervalo.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ f(x) $. A função é:
Podemos simplificar essa expressão antes de derivar:
Agora, vamos derivar:
Passo 4
Agora que temos a derivada $ f’(x) = \frac{5}{4} + \frac{x}{2} $, queremos saber onde essa derivada é positiva, porque isso indica que a função está crescendo.
Então, vamos resolver a inequação:
Passo 5
Vamos isolar o $ x $ na inequação:
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Resposta
A função $ f(x) = \frac{3}{2}x - \frac{x(1 - x)}{4} $ é crescente para todos os valores de $ x $ maiores que
. Ou seja, no intervalo: