Resolva as equaçōes diferenciais a seguir.
y^prime prime prime-3 y^prime prime+4 y^prime-2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de terceira ordem juntos! A equação que temos é:
y''' - 3 y'' + 4 y' - 2 y = 0
Esse tipo de equação faz parte do estudo das Equações Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método das equações características, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar essa equação diferencial em uma equação característica. Isso envolve substituir cada derivada de $ y $ por uma potência de $ r $. Assim, temos:
  • $ y $ vira $ 1 $
  • $ y’ $ vira $ r $
  • $ y’’ $ vira $ r^2 $
  • $ y’’’ $ vira $ r^3 $
Substituindo na equação original:
y
Essa é a nossa equação característica.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação característica, ou seja, os valores de $ r $ que satisfazem:
r
Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que nos diz que possíveis raízes são os divisores do termo constante ( r^3 - 3 r^2 + 4 r - 2 = 0 ) divididos pelos divisores do coeficiente principal ( -2). Então, as possíveis raízes são $ \pm1, \pm2 $.
Vamos testar $ r = 1 $:
1
Legal, $ r = 1 $ é uma raiz. Então, podemos fatorar $ (r - 1) $ da equação.
Fazendo a divisão polinomial ou usando a sintese de divisão, obtemos:
pm1, pm2
Agora, precisamos resolver a equação quadrática $ r^2 - 2 r + 2 = 0 $.
Usando a Fórmula de Bhaskara:
r = 1
Então, as raízes são $ r = 1 $, $ r = 1 + i $ e $ r = 1 - i $.

Passo 4

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. As formas das soluções dependem do tipo das raízes:
  1. Raiz real simples ($ r = 1 $): contribui com $ C_1 e^{r t} = C_1 e^{t} $.
  2. Raízes complexas conjugadas ($ r = 1 \pm i $): contribuem com $ e^{\alpha t}(C_2 \cos(\beta t) + C_3 \sin(\beta t)) $, onde $ \alpha = 1 $ e $ \beta = 1 $.
Então, juntando tudo:
r = 1

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^t + e^t (C2 cos t + C3 sin t)
Onde $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais.

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