Resolva as equaçōes diferenciais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de terceira ordem juntos! A equação que temos é:
Esse tipo de equação faz parte do estudo das Equações Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método das equações características, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar essa equação diferencial em uma equação característica. Isso envolve substituir cada derivada de $ y $ por uma potência de $ r $. Assim, temos:
- $ y $ vira $ 1 $
- $ y’ $ vira $ r $
- $ y’’ $ vira $ r^2 $
- $ y’’’ $ vira $ r^3 $
Substituindo na equação original:
Essa é a nossa equação característica.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação característica, ou seja, os valores de $ r $ que satisfazem:
Vamos tentar encontrar raízes racionais usando o Teorema das Raízes Racionais, que nos diz que possíveis raízes são os divisores do termo constante (
) divididos pelos divisores do coeficiente principal (
). Então, as possíveis raízes são $ \pm1, \pm2 $.
Vamos testar $ r = 1 $:
Legal, $ r = 1 $ é uma raiz. Então, podemos fatorar $ (r - 1) $ da equação.
Fazendo a divisão polinomial ou usando a sintese de divisão, obtemos:
Agora, precisamos resolver a equação quadrática $ r^2 - 2 r + 2 = 0 $.
Usando a Fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são $ r = 1 $, $ r = 1 + i $ e $ r = 1 - i $.
Passo 4
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. As formas das soluções dependem do tipo das raízes:
- Raiz real simples ($ r = 1 $): contribui com $ C_1 e^{r t} = C_1 e^{t} $.
- Raízes complexas conjugadas ($ r = 1 \pm i $): contribuem com $ e^{\alpha t}(C_2 \cos(\beta t) + C_3 \sin(\beta t)) $, onde $ \alpha = 1 $ e $ \beta = 1 $.
Então, juntando tudo:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais.