(5) Seja a função f(x)=2 x^3+3 e^x+1. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função r ponto em que x=0.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=2x^3+3e^x+1 e pede a equação da reta tangente ao seu gráfico no ponto em que x=0. Para isso precisamos calcular o valor da função em x=0 e a derivada f'(x) nesse ponto, pois a derivada fornece o coeficiente angular da reta tangente.

Passo 2

Calculamos o valor de f em x=0:
f(0)=2cdot0^3+3e^0+1=0+3cdot1+1=4

Passo 3

Derivamos f(x) para obter o coeficiente angular:
f'(x)=ddxl(2x^3+3e^x+1r)=6x^2+3e^x
Em seguida, avaliamos em x=0:
f'(0)=6cdot0^2+3e^0=0+3cdot1=3

Passo 4

Usamos a forma ponto–inclinação da reta tangente em (x0,f(x0)):
y - f(0)=f'(0),(x-0)
Substituindo f(0)=4 e f'(0)=3:
y - 4 = 3,(x - 0)

Passo 5

Bast a simplificar a equação acima:
y=3x+4

Resposta

y=3x+4

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