Calcule os seguintes limites, caso existam. Se não existirem, explique o porquê.
lim (x, y) (0,0) |x y| sen(2 x^2-y^3)raizx^6+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0)|x y|,senl(2x^2-y^3r)raizx^6+y^2,
O conteúdo aqui é cálculo de limite em múltiplas variáveis usando desigualdades e o Teorema do Confronto. Vamos precisar das propriedades
  1. lvertsen trvert<=1 para todo t,
  2. a desigualdade raizx^6+y^2>=lvert yrvert.

Passo 2

Defina
f(x,y)=|x y|,senl(2x^2-y^3r)raizx^6+y^2
Como lvertsen(u)rvert<=1, temos
l|f(x,y)r| <=|x y|raizx^6+y^2
Além disso,
raizx^6+y^2;>=;raizy^2;=;lvert yrvert,
portanto
|x y|raizx^6+y^2 <=|x y|lvert yrvert =|x|

Passo 3

Juntando as desigualdades,
lvert f(x,y)rvert<=|x|
Como lim(x,y)to(0,0)|x|=0, pelo Teorema do Confronto concluímos que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=0

Resposta

0

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