Seja a função
f(x)=e^x cdot|x-1|(x-1)
Determine o domínio e faça o esboço do gráfico de f;

Passo 1

O enunciado pede para achar o domínio de
f(x)=e^x,|x-1|x-1
e depois fazer o esboço do gráfico. Vamos ver como o valor absoluto muda a expressão e onde a função é definida.

Passo 2

Para encontrar o domínio, a gente observa que o denominador (x-1) não pode ser zero. Então é preciso ter
x-1neq 0Longrightarrow xneq 1
Portanto o domínio é Rsetminus1.

Passo 3

O próximo passo é reescrever f(x) em forma de pedaços, usando o fato de que
|x-1|=-(x-1),&x<1,x-1,&x>1
Assim obtemos
f(x)=e^x,|x-1|x-1=-e^x,&x<1,e^x,&x>1

Passo 4

Agora é bom checar o comportamento perto de x=1. Quando xto1^- temos f(x)to -e e quando xto1^+ temos e tem um “buraco” em cada limite lateral.

Passo 5

Com essa forma por partes, o esboço do gráfico fica simples de desenhar: para x<1 é a exponencial negativa -e^x, que parte de zero (quando xto-infty) e decai até -e em x=1^-; para x>1 é a exponencial positiva e^x, que cresce de e em diante. Em x=1 a gente marca duas bolinhas abertas em (1,-e) e (1,e).

Resposta

Domínio: Rsetminus1. O gráfico é a função
f(x)=-e^x,&x<1,e^x,&x>1,
com buracos em (1,-e) e (1,e).

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