Determine an de modo que a equação abaixo seja satisfeita
sumn=1^infty n an x^n-1+2 sumn=0^infty an x^n=0

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar uma sequência an tal que a soma de potências satisfaça uma certa identidade. O conteúdo principal aqui é séries de potências e geração de funções, e vamos precisar usar manipulação de somatórios (mudança de índice) e depois comparar coeficientes para obter uma recorrência para an.

Passo 2

Primeiro, note que a derivada da série A(x)=sumn=0^inftyanx^n é exatamente sumn=1^inftyn,anx^n-1. Então a equação do enunciado pode ser vista como
A'(x)+2A(x)=0

Passo 3

Para resolver, podemos igualar coeficientes de x^n. Vamos escrever ambas as séries com o mesmo expoente:
sumn=1^inftyn,anx^n-1=sumn=0^infty(n+1)an+1x^n,
2sumn=0^inftyanx^n

Passo 4

Somando-as e impondo que todos os coeficientes de x^n sejam zero, obtemos a recorrência
(n+1)an+1+2an=0,
ou seja
an+1=-2n+1,an

Passo 5

Isso define a sequência a partir de a0. Para achar a forma fechada, iteramos a relação:
an=a0l(-2r)^n1n!

Resposta

an=a0(-2)^nn!, com a0 arbitrário.

Exercícios relacionados