Determine
de modo que a equação abaixo seja satisfeita
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar uma sequência
tal que a soma de potências satisfaça uma certa identidade. O conteúdo principal aqui é séries de potências e geração de funções, e vamos precisar usar manipulação de somatórios (mudança de índice) e depois comparar coeficientes para obter uma recorrência para
.
Passo 2
Primeiro, note que a derivada da série
é exatamente
. Então a equação do enunciado pode ser vista como
Passo 3
Para resolver, podemos igualar coeficientes de
. Vamos escrever ambas as séries com o mesmo expoente:
Passo 4
Somando-as e impondo que todos os coeficientes de
sejam zero, obtemos a recorrência
ou seja
Passo 5
Isso define a sequência a partir de
. Para achar a forma fechada, iteramos a relação: