Seja a função
f(x)=ln (x) cdot|x-1|(x-1)
Determine o domínio e faça o esboço do gráfico de f;

Passo 1

O enunciado pede para a gente achar o domínio de f(x)=dfracln(x),|x-1|(x-1) e depois esboçar o gráfico. O conteúdo aqui envolve funções logarítmicas, valor absoluto e análise de domínio e limites para montar um gráfico por partes.

Passo 2

Pra começar, vamos ver o domínio. Como temos ln(x), precisamos de x>0. Além disso, o denominador (x-1) não pode ser zero, então xneq1. Portanto o domínio é
(0,1)cup(1,infty)

Passo 3

Agora a gente explora o valor absoluto pra escrever f em duas partes. Pra x>1, vale |x-1|=x-1, então
f(x)=ln(x),(x-1)x-1=ln(x), x>1

Passo 4

Já pra 0, vale |x-1|=1-x, e como (1-x)/(x-1)=-1, a conta fica
f(x)=ln(x),(1-x)x-1=-ln(x), 0

Passo 5

Com isso vemos que o gráfico é feito de duas curvas conhecidas:
— Em (0,1), temos f(x)=-ln(x). Essa curva vai de +infty em xto0^+ até 0 em xto1^-, decrescendo.
— Em (1,infty), temos f(x)=ln(x). Essa vai de 0 em xto1^+ pra +infty quando xtoinfty, crescendo.

Passo 6

As duas partes se encontram num ‘furo’ no ponto (1,0), pois f não está definida em x=1. Também há assíntota vertical em x=0, já que f(x)to+infty ali.

Passo 7

Com essas informações podemos desenhar o esboço situando as duas curvas e o furo em (1,0).

Resposta

Domínio: (0,1)cup(1,infty). Gráfico: em (0,1), f(x)=-ln(x) decrescendo de +infty a 0; em (1,infty), f(x)=ln(x) crescendo de 0 a +infty; há um furo em (1,0) e assíntota vertical em x=0.

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