Seja a função
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Ache a direção segundo a qual
decresce rapidamente no ponto P e a respectiva taxa de variação de
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Ache a direção segundo a qual
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo multivariável. A função dada é $ f(x, y) = 11 - x^{2} - y^{2} $. Nosso objetivo é descobrir em qual direção a função $ f $ diminui mais rapidamente no ponto $ P(\sqrt{3}, 2) $ e qual é a taxa de variação dessa função nesse ponto. Para isso, precisamos entender como as derivadas parciais funcionam e como elas nos ajudam a encontrar a direção de maior variação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função $ f $. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis. No nosso caso, as variáveis são $ x $ e $ y $.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
Portanto, o gradiente de $ f $ é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto específico $ P(\sqrt{3}, 2) $. Substituímos $ x = \sqrt{3} $ e $ y = 2 $ nas derivadas parciais:
Para $ x = \sqrt{3} $:
Para $ y = 2 $:
Então, o gradiente no ponto $ P $ é:
Passo 4
A direção de diminuição mais rápida da função corresponde à direção oposta ao gradiente. Portanto, a direção que estamos procurando é o vetor negativo do gradiente calculado:
Passo 5
Para encontrar a taxa de variação da função nessa direção, calculamos o produto escalar entre o gradiente e um vetor unitário na direção de diminuição. Primeiro, normalizamos o vetor de direção:
O comprimento do vetor $ \left( 2\sqrt{3}, 4 \right) $ é:
Então, o vetor unitário na direção de diminuição é:
Agora, a taxa de variação na direção de diminuição é o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário:
Resposta
A direção em que $ f $ diminui mais rapidamente no ponto $ P(\sqrt{3}, 2) $ é $ \left( 2\sqrt{3}, 4 \right) $ e a taxa de variação de $ f $ nessa direção é $ -2\sqrt{7} $ cm.