4.10 ( 2,5 pontos): O campo elétrico na superficie de um condutor
( ) é paralelo a superficie
( ) depende somente da carga total do condutor
( ) depende somente da área do condutor
( ) depende somente da curvatura da superficie
( ) depende da área e curvatura do condutor e também de sua carga total

Passo 1

O enunciado pergunta qual das alternativas sobre o campo elétrico na superfície de um condutor é verdadeira. As alternativas dadas são:
( ) é paralelo à superfície
( ) depende somente da carga total do condutor
( ) depende somente da área do condutor
( ) depende somente da curvatura da superfície
( ) depende da área e curvatura do condutor e também de sua carga total

Passo 2

Primeiro vamos deixar claro o que o enunciado está pedindo: temos que identificar o comportamento do campo elétrico exatamente na superfície externa de um condutor em equilíbrio eletrostático e decidir qual das frases acima descreve isso corretamente. Vou explicar passo a passo as propriedades físicas e matemáticas necessárias para entender por que uma alternativa é correta e as outras não.

Passo 3

Propriedade 1 — direção do campo na superfície: em equilíbrio eletrostático, cargas livres no condutor não se movem. Se existisse uma componente tangencial do campo elétrico na superfície, as cargas livres seriam aceleradas ao longo da superfície e se moveriam, o que contradiz o equilíbrio. Logo, o campo elétrico na superfície não tem componente tangencial: ele é perpendicular (normal) à superfície. Em símbolos: o vetor campo imediatamente fora da superfície satisfaz que \vec{E} é paralelo à normal externa da superfície. Portanto a alternativa “é paralelo à superfície” está errada.

Passo 4

Propriedade 2 — relação entre campo e densidade de carga superficial: o valor do campo elétrico imediatamente fora de um condutor está relacionado com a densidade de carga superficial \sigma por meio da condição de contorno obtida com a Lei de Gauss. Vou derivar isso de forma simples e didática.
Escolhemos um pequeno cilindro imaginário (um “pílula”) que interseca a superfície: uma face do cilindro está dentro do condutor, a outra fora, com área da face igual a A. Como o campo dentro do condutor é nulo, a contribuição de fluxo pela face interna é zero. O fluxo total é dado apenas pela face externa (assumindo o cilindro pequeno e que as faces laterais contribuem desprezivelmente). Pela Lei de Gauss:
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}
O fluxo pela face externa vale aproximadamente E_{\text{fora}}\,A, e a carga encerrada é \sigma A. Substituindo:
E_{\text{fora}}\,A=\frac{\sigma A}{\varepsilon_{0}}
Cancelando A obtemos a famosa relação de contorno:
E_{\text{fora}}=\frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}.
Aqui \sigma é a densidade de carga superficial local (carga por unidade de área) no ponto considerado e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo. Observe que essa equação mostra que o campo depende do valor local de \sigma: direção normal e módulo dado por \sigma/\varepsilon_0.

Passo 5

Interpretação física de \sigma: a densidade de carga superficial \sigma não é, em geral, igual em toda a superfície — ela depende da geometria do condutor e de como a carga total se distribui. Em particular, regiões de maior curvatura (pontas, arestas, superfícies mais “afiadas”) tendem a concentrar carga, resultando em \sigma maior nessas regiões. Isso é intuitivo: cargas se repelem e acabam se acumulando mais onde a superfície “projeta” mais carga por área, ou dito de outro modo, onde a curvatura local é maior.

Passo 6

Exemplo concreto (esfera): para ilustrar um caso simples e ver como aparecem área e carga total, considere uma esfera metálica de raio R com carga total Q. A simetria esférica faz com que a densidade seja homogênea:
\sigma=\frac{Q}{4\pi R^{2}}.
Aplicando \;E_{\text{fora}}=\sigma/\varepsilon_{0}\; obtemos
E_{\text{fora}}=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}R^{2}}.
Aqui vemos que, no caso da esfera, o campo na superfície depende do total Q e do raio R (que determina a área 4\pi R^{2}). Mas esse é um caso especial por causa da simetria.

Passo 7

Por que as outras alternativas são falsas (ou incompletas)?
  • “depende somente da carga total do condutor”: falso. Dois condutores com mesma carga total podem ter campos diferentes na superfície em pontos diferentes, se suas geometrias forem diferentes (por exemplo, uma esfera e um objeto pontudo).
  • “depende somente da área do condutor”: falso. A área global sozinha não determina a distribuição local \sigma; a forma (curvatura) importa.
  • “depende somente da curvatura da superfície”: falso. A curvatura local influencia \sigma, mas o valor absoluto de \sigma também depende de quanto carga total está disponível e de condições externas; curvatura sozinha não fixa \sigma sem conhecer Q (ou outras condições).
  • “é paralelo à superfície”: já mostramos que é falso (o campo é normal à superfície).

Passo 8

Conclusão lógica: o campo na superfície é normal e seu módulo é E=\sigma/\varepsilon_{0}. O valor de \sigma (logo de E) depende da distribuição de carga sobre a superfície, a qual é determinada pela geometria (curvatura local), pela carga total e por condições de contorno externas. Assim, dentre as opções dadas, a que melhor descreve a dependência é a que afirma que depende da área e curvatura do condutor e também de sua carga total — essa opção reconhece que geometria (através de área/curvatura) e carga total influenciam o campo.

Resposta

( ) depende da área e curvatura do condutor e também de sua carga total

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