Seja a função
.
a) Determine o domínio e a imagem de
.
b) Faça um esboço do gráfico de
.
c) Determine as curvas de nível
e desenhe-as para alguns valores de
.
d) Verifique se a curva
, com
, é uma curva de nível de
. Justifique sua resposta.
e) Determine o comprimento de cada curva de nível de
.
a) Determine o domínio e a imagem de
b) Faça um esboço do gráfico de
c) Determine as curvas de nível
d) Verifique se a curva
e) Determine o comprimento de cada curva de nível de
Passo 1
O enunciado define a função
e pede:
a) domínio e imagem de ,
b) esboço do gráfico de ,
c) curvas de nível e seu desenho para alguns
,
d) verificação se é curva de nível,
e) comprimento de cada curva de nível.
Vamos usar conceitos de domínio de funções de duas variáveis, imagem, gráfico de superfícies, curvas de nível e comprimento de curvas parametrizadas.
a) domínio e imagem de
b) esboço do gráfico de
c) curvas de nível
d) verificação se
e) comprimento de cada curva de nível.
Vamos usar conceitos de domínio de funções de duas variáveis, imagem, gráfico de superfícies, curvas de nível e comprimento de curvas parametrizadas.
Passo 2
Para existir
basta que
. Logo o domínio é
Como
, temos
e, ao deixar
,
. Portanto a imagem é
Passo 3
O gráfico de
é um cone invertido: o vértice (ápice) fica em
e a superfície abre-se para baixo, com seções transversais em planos
sendo círculos de raio
.
Passo 4
As curvas de nível são dadas por
Para
temos raio
, ou seja, círculos centrados na origem de raio
. Para
não há pontos.
Passo 5
Na curva
,
, temos
Como o valor de
ao longo de
é constante igual a
, essa é a curva de nível correspondente a
.
Passo 6
Cada curva de nível de valor
é o círculo de raio
. Uma parametrização é
O vetor velocidade é
e seu módulo é
.
Logo o comprimento é
Logo o comprimento é
Resposta
a) Domínio
; imagem
.
b) Gráfico: cone invertido com ápice em .
c) Curvas de nível : círculos centrados na origem de raio
.
d) é curva de nível de valor
.
e) Comprimento de cada curva de nível :
.
b) Gráfico: cone invertido com ápice em
c) Curvas de nível
d)
e) Comprimento de cada curva de nível