Seja a função f(x, y)=2-raizx^2+y^2.
a) Determine o domínio e a imagem de f.
b) Faça um esboço do gráfico de f.
c) Determine as curvas de nível k e desenhe-as para alguns valores de k.
d) Verifique se a curva gamma(t)=(2 cos t, 2 sen t), com 0 <= t <= 2 pi, é uma curva de nível de f. Justifique sua resposta.
e) Determine o comprimento de cada curva de nível de f.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=2-raizx^2+y^2
e pede:
a) domínio e imagem de f,
b) esboço do gráfico de f,
c) curvas de nível k e seu desenho para alguns k,
d) verificação se vecgamma(t)=(2cos t,2sen t) é curva de nível,
e) comprimento de cada curva de nível.
Vamos usar conceitos de domínio de funções de duas variáveis, imagem, gráfico de superfícies, curvas de nível e comprimento de curvas parametrizadas.

Passo 2

Para existir raizx^2+y^2 basta que x,yinR. Logo o domínio é
D=(x,y)inR^2=R^2
Como raizx^2+y^2=r>=0, temos
f(x,y)=2-r<=2
e, ao deixar rtoinfty, fto -infty. Portanto a imagem é
Im(f)=(-infty,2]

Passo 3

O gráfico de
z=f(x,y)=2-raizx^2+y^2
é um cone invertido: o vértice (ápice) fica em (0,0,2) e a superfície abre-se para baixo, com seções transversais em planos z=k sendo círculos de raio 2-k.

Passo 4

As curvas de nível são dadas por
2-raizx^2+y^2=k Longrightarrow raizx^2+y^2=2-k
Para k<=2 temos raio r=2-k>=0, ou seja, círculos centrados na origem de raio 2-k. Para k>2 não há pontos.

Passo 5

Na curva vecgamma(t)=(2cos t,2sen t), 0<= t<=2pi, temos
f(vecgamma(t)) =2-raiz(2cos t)^2+(2sen t)^2 =2-2=0
Como o valor de f ao longo de vecgamma é constante igual a 0, essa é a curva de nível correspondente a k=0.

Passo 6

Cada curva de nível de valor k<=2 é o círculo de raio r=2-k. Uma parametrização é
alpha(t)=l((2-k)cos t,,(2-k)sen tr), 0<= t<=2pi
O vetor velocidade é alpha'(t)=l(-(2-k)sen t,,(2-k)cos tr) e seu módulo é |alpha'(t)|=2-k.
Logo o comprimento é
L =integral0^2pi|alpha'(t)|,dt =integral0^2pi(2-k),dt =2pi,(2-k)

Resposta

a) Domínio R^2; imagem (-infty,2].
b) Gráfico: cone invertido com ápice em (0,0,2).
c) Curvas de nível k<=2: círculos centrados na origem de raio 2-k.
d) vecgamma(t)=(2cos t,2sen t) é curva de nível de valor k=0.
e) Comprimento de cada curva de nível k: L=2pi,(2-k).

Exercícios relacionados