Inverter a ordem de integração:
integral0^pi4 integral2 raiz2pi x^sen x f(x, y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral dupla
integral0^pi4integral2raiz2pix^sen xf(x,y),dy,dx
O conteúdo é cálculo de integrais duplas e vamos precisar descrever a região de integração
D=l(x,y)mid 0<= x<=tfracpi4,;tfrac2raiz2pix<= y<=sen xr
e projetá-la no eixo y.

Passo 2

Para cada xin[0,pi/4], y varia entre
y1(x)=2raiz2pix e y2(x)=sen x
Como sen x>=2raiz2pix em [0,pi/4], essa é de fato a região entre duas curvas que se encontram em x=0 e em x=pi/4.

Passo 3

Para encontrar o intervalo de y, olhamos os extremos de y1 e y2:
em x=0 ambas valem 0, e em x=pi/4 vale
y1l(tfracpi4r) =2raiz2picdotpi4 =raiz22, y2l(tfracpi4r) =senl(tfracpi4r) =raiz22
Logo y vai de 0 até tfracraiz22.

Passo 4

Para um y fixo em l[0,tfracraiz22r], as desigualdades
2raiz2pix<= y<=sen x
viram
x<=pi y2raiz2 e x>=arcsin(y),
pois em [0,pi/2] a função sen é crescente e injetora.

Passo 5

Portanto, ao invertermos a ordem, y corre de 0 a tfracraiz22 e, para cada y, x corre de arcsin(y) até tfracpi y2raiz2. A integral fica
integraly=0^raiz22 integralx=arcsin(y)^pi y2raiz2 f(x,y),dx,dy

Resposta

integral0^raiz22 integralarcsin(y)^pi y2raiz2 f(x,y),dx,dy

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