Seja a função
. Enuncie o Teorema de Clairaut e em seguida verifique se a função dada satisfaz a condição estabelecida no Teorema.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede primeiro que a gente enuncie o Teorema de Clairaut e depois verifique se essa função satisfaz a condição do teorema.
Passo 2
O Teorema de Clairaut (ou Teorema da igualdade das derivadas parciais mistas) diz o seguinte:
Se uma função
tiver derivadas parciais de segunda ordem contínuas num aberto em
, então, para todo ponto desse aberto, valem
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Derivando em relação a
temos
e derivando em relação a
temos
Passo 4
Agora calculamos a derivada parcial mista
. Para isso derivamos
em relação a
:
Logo
Passo 5
Em seguida calculamos a outra derivada mista
. Derivando
em relação a
:
Portanto
Passo 6
Como ambas as derivadas mistas são iguais, ou seja,
e como
é polinomial (portanto tem todas as derivadas contínuas), concluímos que a condição do Teorema de Clairaut está satisfeita.
Resposta
A função satisfaz a condição do Teorema de Clairaut, pois suas derivadas parciais de segunda ordem são contínuas e