Seja a função f(x, y)=x^{2}+x y^{2}-2 y. Enuncie o Teorema de Clairaut e em seguida verifique se a função dada satisfaz a condição estabelecida no Teorema.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^{2}+x\,y^{2}-2y
e pede primeiro que a gente enuncie o Teorema de Clairaut e depois verifique se essa função satisfaz a condição do teorema.

Passo 2

O Teorema de Clairaut (ou Teorema da igualdade das derivadas parciais mistas) diz o seguinte:
Se uma função f(x,y) tiver derivadas parciais de segunda ordem contínuas num aberto em \mathbb{R}^2, então, para todo ponto desse aberto, valem
\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Derivando em relação a x temos
\frac{\partial f}{\partial x} =2x + y^{2},
e derivando em relação a y temos
\frac{\partial f}{\partial y} =2xy - 2.

Passo 4

Agora calculamos a derivada parcial mista \partial^2 f/(\partial x\,\partial y). Para isso derivamos \partial f/\partial x em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(2x + y^{2}\Bigr) =2y.
Logo
\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}=2y.

Passo 5

Em seguida calculamos a outra derivada mista \partial^2 f/(\partial y\,\partial x). Derivando \partial f/\partial y em relação a x:
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(2xy - 2\Bigr) =2y.
Portanto
\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}=2y.

Passo 6

Como ambas as derivadas mistas são iguais, ou seja,
\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} =2y,
e como f é polinomial (portanto tem todas as derivadas contínuas), concluímos que a condição do Teorema de Clairaut está satisfeita.

Resposta

A função satisfaz a condição do Teorema de Clairaut, pois suas derivadas parciais de segunda ordem são contínuas e
\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}.

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