Seja f(x, y)=x^{2}+3 x y-y^{2}. Explicite o diferencial d z… Se x varia de 2,0 para 2,02 e y varia de 3,0 para 2,98 , compare os valores de d z e \Delta z… O que você pode concluir após explicitar \Delta z e d z ?
Boa sorte!

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{2}+3xy-y^{2}
e pede o diferencial dz e a comparação entre dz e \Delta z quando x varia de 2,0 para 2,02 e y varia de 3,0 para 2,98. O conteúdo é cálculo da diferencial total e aproximação linear de funções de duas variáveis.

Passo 2

Para obter o diferencial total usamos
dz=\frac{\partial f}{\partial x}\,dx+\frac{\partial f}{\partial y}\,dy.
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x+3y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=3x-2y.

Passo 3

No ponto inicial (x_{0},y_{0})=(2,3) temos
dx=2,02-2,0=0,02, \quad dy=2,98-3,0=-0,02.
Avalia-se
\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(2,3)}=2\cdot2+3\cdot3=13, \qquad \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(2,3)}=3\cdot2-2\cdot3=0,
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dz=13\cdot0,02+0\cdot(-0,02)=0,26.

Passo 4

Calculamos a variação real
f(2,02,2,98)=(2,02)^{2}+3\cdot2,02\cdot2,98-(2,98)^{2} =4,0804+18,0588-8,8804=13,2588,
f(2,0,3,0)=2^{2}+3\cdot2\cdot3-3^{2}=4+18-9=13,
portanto
\Delta z=f(2,02,2,98)-f(2,0,3,0)=13,2588-13=0,2588.

Passo 5

Comparando dz=0,26 e \Delta z\approx0,2588, vemos que são muito próximos. Concluímos que o diferencial total fornece uma excelente aproximação da variação real de f para pequenas mudanças em x e y.

Resposta

dz=(2x+3y)\,dx+(3x-2y)\,dy; em (2,3) vale dz=0,26; \Delta z\approx0,2588. A aproximação linear é bastante precisa para variações pequenas.

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