Considere a função f(x, y, z)=e^{x y} \ln z. Detemine: i) \left(\left(f_{x}\right)_{y}\right)_{z}.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=e^{xy}\ln z
e pede o derivada mista
\bigl((f_x)_y\bigr)_z.
Vamos, então, calcular sucessivamente f_x, depois (f_x)_y e por fim \bigl((f_x)_y\bigr)_z, usando regra do produto e regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Calcular f_x. Tratamos y e z como constantes e derivamos
f(x,y,z)=e^{xy}\ln z.
Pela regra da cadeia,
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{xy}\bigr)\,\ln z =\bigl(y\,e^{xy}\bigr)\ln z =y\,e^{xy}\ln z.

Passo 3

Calcular (f_x)_y. Agora derivamos
f_x = y\,e^{xy}\ln z
em relação a y, tratando x e z como constantes. Há um produto y\cdot\bigl(e^{xy}\ln z\bigr), então
(f_x)_y =\frac{\partial}{\partial y}(y)\,e^{xy}\ln z + y\,\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{xy}\ln z\bigr).
A primeira parcela é 1\cdot e^{xy}\ln z. Na segunda, \ln z é constante e
\frac{\partial}{\partial y}(e^{xy})=x\,e^{xy},
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(f_x)_y =e^{xy}\ln z + y\,(x\,e^{xy})\ln z =e^{xy}\ln z\;(1 + x y).

Passo 4

Calcular \bigl((f_x)_y\bigr)_z. Derivamos
(f_x)_y = e^{xy}\ln z\;(1 + x y)
em relação a z, agora x e y são constantes e só varia \ln z. Como e^{xy}(1+xy) é constante em z,
\bigl((f_x)_y\bigr)_z =e^{xy}(1 + x y)\,\frac{d}{dz}(\ln z) =e^{xy}(1 + x y)\,\frac1z =\frac{e^{xy}(1 + x y)}{z}.

Resposta

\bigl((f_x)_y\bigr)_z =\frac{e^{xy}(1 + x y)}{z}.

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