Seja a função f(x, y, z)=x^{2} y^{3}+z^{4} \operatorname{sen}(x).
Deter mine todas as derivadas parciais de primeria ordem
Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=x^{2}y^{3}+z^{4}\operatorname{sen}(x) e pede duas coisas:
  1. Determinar todas as derivadas parciais de primeira ordem.
  2. Determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem (tanto as puras quanto as mistas).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x,y,z)=x^{2}y^{3}+z^{4}\operatorname{sen}(x).
  • Em notação padrão de cálculo usaremos \sin(x) para \operatorname{sen}(x).
  • Devemos achar \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} e todas as segundas derivadas \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}, \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}, etc.

Passo 2

Rápida revisão didática sobre como calcular derivadas parciais (sem pular etapas):
  • Definição prática: para \frac{\partial f}{\partial x} diferenciamos a função em relação a x tratando y e z como constantes; para \frac{\partial f}{\partial y} tratamos x e z como constantes; para \frac{\partial f}{\partial z} tratamos x e y como constantes.
  • Regras que vamos usar:
    • Regra do poder: \dfrac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}.
    • Constante multiplicativa: se c é constante em relação à variável, \dfrac{d}{dx} c\cdot g(x) = c\cdot g'(x).
    • Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
    • Derivada do seno: \dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x.
    • Regra do produto (quando necessário): \dfrac{d}{dx}(u(x)v(x))=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Aqui usaremos principalmente a visão “tratar outros como constantes”, que simplifica muitos termos.
Vou aplicar essas regras passo a passo aos termos de f.

Passo 3

Calcular \frac{\partial f}{\partial x}.
Escrevendo a função em dois termos:
f(x,y,z)=\underbrace{x^{2}y^{3}}_{\text{termo 1}}+\underbrace{z^{4}\sin(x)}_{\text{termo 2}}.
  • Para o termo 1, y^{3} é constante em relação a x. Então aplicamos a regra do poder a x^{2}:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}y^{3}\big)=2x\,y^{3}.
  • Para o termo 2, z^{4} é constante em relação a x. A derivada de \sin(x) é \cos(x), então
\frac{\partial}{\partial x}\big(z^{4}\sin x\big)=z^{4}\cos x.
Somando as duas contribuições:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x\,y^{3}+z^{4}\cos x.

Passo 4

Calcular \frac{\partial f}{\partial y}.
Novamente usando os dois termos:
  • Termo 1: x^{2} é constante em relação a y. Aplicando a regra do poder a y^{3}:
\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y^{3}\big)=x^{2}\cdot 3y^{2}=3x^{2}y^{2}.
  • Termo 2: z^{4}\sin x não depende de y, portanto sua derivada parcial em relação a y é 0.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial y}=3x^{2}y^{2}.

Passo 5

Calcular \frac{\partial f}{\partial z}.
  • Termo 1: x^{2}y^{3} não depende de z, então dá 0.
  • Termo 2: \sin x é constante em relação a z. Aplicando a regra do poder a z^{4}:
\frac{\partial}{\partial z}\big(z^{4}\sin x\big)=4z^{3}\sin x.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial z}=4z^{3}\sin x.

Passo 6

Agora vamos às derivadas de segunda ordem. Vou calcular as puras primeiro ( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}), diferenciando as respectivas primeiras derivadas em relação à mesma variável.

Passo 7

Calcular \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}.
Partimos de \frac{\partial f}{\partial x}=2x\,y^{3}+z^{4}\cos x.
  • Derivada de 2x\,y^{3} em relação a x: 2y^{3} (porque y^{3} é constante).
  • Derivada de z^{4}\cos x em relação a x: z^{4}\cdot(-\sin x)=-z^{4}\sin x.
Somando:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=2y^{3}-z^{4}\sin x.

Passo 8

Calcular \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}.
Partimos de \frac{\partial f}{\partial y}=3x^{2}y^{2}.
  • Derivada em relação a y: 3x^{2}\cdot 2y = 6x^{2}y.
Logo
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=6x^{2}y.

Passo 9

Calcular \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}.
Partimos de \frac{\partial f}{\partial z}=4z^{3}\sin x.
  • Derivada em relação a z: 4\cdot 3 z^{2}\sin x = 12 z^{2}\sin x.
Assim
\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=12 z^{2}\sin x.

Passo 10

Agora as derivadas mistas. Vou calcular cada uma diretamente e, quando fizer sentido, mostrar que as trocas de ordem coincidem (Clairaut), porque a função é suave.
Calcular \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} (ou \frac{\partial}{\partial y}\big(\frac{\partial f}{\partial x}\big)):
  • Partimos de \frac{\partial f}{\partial x}=2x\,y^{3}+z^{4}\cos x.
  • Derivando em relação a y: a derivada de 2x\,y^{3} é 2x\cdot 3y^{2}=6x y^{2}. O termo z^{4}\cos x não depende de y, dá 0.
Logo
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=6x y^{2}.
Verificamos \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} (derivando \frac{\partial f}{\partial y} em relação a x):
  • \frac{\partial f}{\partial y}=3x^{2}y^{2}. Derivando em x: 3\cdot 2 x y^{2}=6x y^{2}.
    São iguais, como esperado.

Passo 11

Calcular \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial z}.
  • Partimos de \frac{\partial f}{\partial x}=2x\,y^{3}+z^{4}\cos x.
  • Derivando em relação a z: o primeiro termo não depende de z, contribui 0. O segundo termo dá 4z^{3}\cos x.
Logo
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial z}=4z^{3}\cos x.
Verificando a ordem trocada \frac{\partial^{2} f}{\partial z\partial x}:
  • \frac{\partial f}{\partial z}=4z^{3}\sin x. Derivando em x: 4z^{3}\cos x.
    Igual, confirmado.

Passo 12

Calcular \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial z}.
  • \frac{\partial f}{\partial y}=3x^{2}y^{2} não depende de z, então derivando em z 0.
  • Alternativamente, \frac{\partial f}{\partial z}=4z^{3}\sin x não depende de y, derivando em y 0.
    Portanto
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial z}=\frac{\partial^{2} f}{\partial z\partial y}=0.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=2x\,y^{3}+z^{4}\cos x
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=3x^{2}y^{2}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}=4z^{3}\sin x
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=2y^{3}-z^{4}\sin x
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=6x^{2}y
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=12z^{2}\sin x
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=6x y^{2}
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial z}=\frac{\partial^{2} f}{\partial z\partial x}=4z^{3}\cos x
\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial z}=\frac{\partial^{2} f}{\partial z\partial y}=0

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