Seja a função f(x, y, z)=x^{2} y^{3}+z^{4} \operatorname{sen}(x).
Deter mine todas as derivadas parciais de primeria ordem
Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem
Passo 1
O enunciado dá a função f(x,y,z)=x^{2}y^{3}+z^{4}\operatorname{sen}(x) e pede duas coisas:
Determinar todas as derivadas parciais de primeira ordem.
Determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem (tanto as puras quanto as mistas).
Informações relevantes fornecidas:
A função é f(x,y,z)=x^{2}y^{3}+z^{4}\operatorname{sen}(x).
Em notação padrão de cálculo usaremos \sin(x) para \operatorname{sen}(x).
Devemos achar \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} e todas as segundas derivadas \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}, \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}, etc.
Passo 2
Rápida revisão didática sobre como calcular derivadas parciais (sem pular etapas):
Definição prática: para \frac{\partial f}{\partial x} diferenciamos a função em relação a x tratando y e z como constantes; para \frac{\partial f}{\partial y} tratamos x e z como constantes; para \frac{\partial f}{\partial z} tratamos x e y como constantes.
Regras que vamos usar:
Regra do poder: \dfrac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}.
Constante multiplicativa: se c é constante em relação à variável, \dfrac{d}{dx} c\cdot g(x) = c\cdot g'(x).
Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
Derivada do seno: \dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x.
Regra do produto (quando necessário): \dfrac{d}{dx}(u(x)v(x))=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Aqui usaremos principalmente a visão “tratar outros como constantes”, que simplifica muitos termos.
Vou aplicar essas regras passo a passo aos termos de f.
Agora vamos às derivadas de segunda ordem. Vou calcular as puras primeiro (\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}), diferenciando as respectivas primeiras derivadas em relação à mesma variável.
Passo 7
Calcular \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}.
Partimos de \frac{\partial f}{\partial x}=2x\,y^{3}+z^{4}\cos x.
Derivada de 2x\,y^{3} em relação a x: 2y^{3} (porque y^{3} é constante).
Derivada de z^{4}\cos x em relação a x: z^{4}\cdot(-\sin x)=-z^{4}\sin x.
Agora as derivadas mistas. Vou calcular cada uma diretamente e, quando fizer sentido, mostrar que as trocas de ordem coincidem (Clairaut), porque a função é suave.