Determine o domínio das funções definidas em \mathbb{R}.
f(x, y)=\frac{1}{x-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função f dada por
f(x,y)=\frac{1}{x-y^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é fornecida por uma expressão racional em duas variáveis x e y.
  • A expressão tem denominador x-y^{2}.
  • Queremos o conjunto de todos os pares (x,y) em \mathbb{R}^{2} onde f está bem definida.

Passo 2

O que significa “estar bem definida” aqui? Para uma função dada por uma fração, é imprescindível que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não existe. Exemplo simples para fixar a ideia: a função \displaystyle g(t)=\frac{1}{t} não está definida em t=0 porque ali o denominador é zero. Aplicando o mesmo raciocínio a f(x,y), devemos exigir que o denominador
x-y^{2}
seja diferente de zero. Ou seja, o domínio é o conjunto de todos os pares (x,y) que satisfazem essa desigualdade.

Passo 3

Vamos escrever a condição explicitamente. Queremos
x-y^{2}\neq 0.
Isolando x (somando y^{2} em ambos os lados) obtemos a forma equivalente
x\neq y^{2}.
Explicação do passo: somar y^{2} às duas partes da desigualdade é uma operação válida e nos dá uma descrição direta de quais pares são proibidos — exatamente aqueles cujo primeiro coordenado iguala o quadrado da segunda coordenada.

Passo 4

Agora transformamos essa condição em uma descrição do conjunto. Em linguagem de conjuntos, o domínio é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\neq y^{2}\}.
Geometricamente, isso significa: pegue todo o plano \mathbb{R}^{2} e retire a curva dada por x=y^{2} (que é uma parábola virada para a direita). Pontos como (2,1) pertencem ao domínio porque 2\neq 1^{2}; pontos como (0,0) não pertencem porque 0=0^{2}.

Passo 5

Resumo pedagógico rápido: para funções racionais, sempre verifique o denominador e exclua os pontos onde ele se anula. Aqui o denominador anula exatamente quando x=y^{2}, então esses pontos são excluídos e todo o resto do plano fica no domínio.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\neq y^{2}\}

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