Determine o domínio das funções definidas em
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o domínio da função
dada por
Informações relevantes dadas:
- A função é fornecida por uma expressão racional em duas variáveis
e . - A expressão tem denominador
. - Queremos o conjunto de todos os pares
em onde está bem definida.
Passo 2
O que significa “estar bem definida” aqui? Para uma função dada por uma fração, é imprescindível que o denominador não seja zero, porque divisão por zero não existe. Exemplo simples para fixar a ideia: a função
não está definida em
porque ali o denominador é zero. Aplicando o mesmo raciocínio a
, devemos exigir que o denominador
seja diferente de zero. Ou seja, o domínio é o conjunto de todos os pares
que satisfazem essa desigualdade.
Passo 3
Vamos escrever a condição explicitamente. Queremos
Isolando
(somando
em ambos os lados) obtemos a forma equivalente
Explicação do passo: somar
às duas partes da desigualdade é uma operação válida e nos dá uma descrição direta de quais pares são proibidos — exatamente aqueles cujo primeiro coordenado iguala o quadrado da segunda coordenada.
Passo 4
Agora transformamos essa condição em uma descrição do conjunto. Em linguagem de conjuntos, o domínio é
Geometricamente, isso significa: pegue todo o plano
e retire a curva dada por
(que é uma parábola virada para a direita). Pontos como
pertencem ao domínio porque
; pontos como
não pertencem porque
.
Passo 5
Resumo pedagógico rápido: para funções racionais, sempre verifique o denominador e exclua os pontos onde ele se anula. Aqui o denominador anula exatamente quando
, então esses pontos são excluídos e todo o resto do plano fica no domínio.