Calcule \frac{d z}{d t}.
z=f(x, y)=e^{x^{3} y^{2}}
x(t)=e^{t} ; y(t)=t^{3}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \dfrac{dz}{dt}.
Informações dadas:
z=f(x,y)=e^{x^{3}y^{2}},
x(t)=e^{t},
y(t)=t^{3}.
Ou seja: z depende de x e y, e tanto x quanto y dependem de t. Temos que encontrar a taxa de variação de z em relação a t, isto é \dfrac{dz}{dt}.

Passo 2

Ferramenta principal (cadeia para funções de várias variáveis): quando z=f(x,y) e x=x(t),\,y=y(t), a derivada de z em relação a t é dada por
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Explicando: \dfrac{\partial f}{\partial x} é a derivada parcial de f em relação a x, isto é, quanto f muda se só x variar (mantendo y fixo). \dfrac{\partial f}{\partial y} é análogo para y. A fórmula soma as contribuições de como x e y mudam com t.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=e^{x^{3}y^{2}}.
Primeiro, defino u(x,y)=x^{3}y^{2}. Então f=e^{u}. Pela regra da cadeia (para derivada de exponencial),
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{u}\frac{\partial u}{\partial x}.
Agora \dfrac{\partial u}{\partial x}=3x^{2}y^{2} (derivando x^{3} em relação a x 3x^{2}, e y^{2} trata-se como constante).
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{x^{3}y^{2}}\cdot 3x^{2}y^{2}=3x^{2}y^{2}e^{x^{3}y^{2}}.

Passo 4

De modo análogo para \dfrac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial f}{\partial y}=e^{u}\frac{\partial u}{\partial y},
e \dfrac{\partial u}{\partial y}=2x^{3}y (derivando y^{2} em relação a y 2y).
Logo
\frac{\partial f}{\partial y}=e^{x^{3}y^{2}}\cdot 2x^{3}y=2x^{3}y\,e^{x^{3}y^{2}}.

Passo 5

Calcular \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} a partir das funções fornecidas:
x(t)=e^{t}\quad\Rightarrow\quad \frac{dx}{dt}=e^{t},
y(t)=t^{3}\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dt}=3t^{2}.

Passo 6

Substituir tudo na fórmula da cadeia:
\frac{dz}{dt}=\left(3x^{2}y^{2}e^{x^{3}y^{2}}\right)\frac{dx}{dt}+\left(2x^{3}y\,e^{x^{3}y^{2}}\right)\frac{dy}{dt}.
Agora vamos avaliar cada termo em x=x(t)=e^{t} e y=y(t)=t^{3}.

Passo 7

Avaliação e simplificação termo a termo.
Primeiro termo:
3x^{2}y^{2}e^{x^{3}y^{2}}\cdot\frac{dx}{dt} =3\,(e^{t})^{2}\,(t^{3})^{2}\,e^{(e^{t})^{3}(t^{3})^{2}}\cdot e^{t}.
Simplificando potências:
(e^{t})^{2}=e^{2t}, (e^{t})^{3}=e^{3t}, (t^{3})^{2}=t^{6}. Assim o primeiro termo vira
3\,e^{2t}\,t^{6}\,e^{t^{6}e^{3t}}\,e^{t}=3\,e^{3t}\,t^{6}\,e^{t^{6}e^{3t}}.
Segundo termo:
2x^{3}y\,e^{x^{3}y^{2}}\cdot\frac{dy}{dt} =2\,(e^{t})^{3}\,(t^{3})\,e^{(e^{t})^{3}(t^{3})^{2}}\cdot 3t^{2}.
Novamente simplificando:
(e^{t})^{3}=e^{3t}. Então
2\,e^{3t}\,t^{3}\,e^{t^{6}e^{3t}}\cdot 3t^{2}=6\,e^{3t}\,t^{5}\,e^{t^{6}e^{3t}}.

Passo 8

Somando os dois termos:
\frac{dz}{dt}=3\,e^{3t}\,t^{6}\,e^{t^{6}e^{3t}}+6\,e^{3t}\,t^{5}\,e^{t^{6}e^{3t}}.
Fator comum e^{t^{6}e^{3t}}\,e^{3t}\,t^{5}:
\frac{dz}{dt}=e^{t^{6}e^{3t}}\,e^{3t}\,t^{5}\left(3t+6\right).
Fatorando mais um 3:
\frac{dz}{dt}=3\,e^{3t+t^{6}e^{3t}}\,t^{5}(t+2).

Resposta

\frac{dz}{dt}=3\,e^{3t+t^{6}e^{3t}}\,t^{5}(t+2).

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