Calcule
.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
.
Informações dadas:
Ou seja:
depende de
e
, e tanto
quanto
dependem de
. Temos que encontrar a taxa de variação de
em relação a
, isto é
.
Passo 2
Ferramenta principal (cadeia para funções de várias variáveis): quando
e
, a derivada de
em relação a
é dada por
Explicando:
é a derivada parcial de
em relação a
, isto é, quanto
muda se só
variar (mantendo
fixo).
é análogo para
. A fórmula soma as contribuições de como
e
mudam com
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
Primeiro, defino
. Então
. Pela regra da cadeia (para derivada de exponencial),
Agora
(derivando
em relação a
dá
, e
trata-se como constante).
Portanto
Portanto
Passo 4
De modo análogo para
:
e
(derivando
em relação a
dá
).
Logo
Logo
Passo 5
Calcular
e
a partir das funções fornecidas:
Passo 6
Substituir tudo na fórmula da cadeia:
Agora vamos avaliar cada termo em
e
.
Passo 7
Avaliação e simplificação termo a termo.
Primeiro termo:
Simplificando potências:
,
,
. Assim o primeiro termo vira
Segundo termo:
Novamente simplificando:
. Então
Passo 8
Somando os dois termos:
Fator comum
:
Fatorando mais um
: