Determine o domínio das funções definidas em \mathbb{R}.
f(x, y)=\frac{y}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o domínio da função de duas variáveis f dada por
f(x,y)=\frac{y}{x^{2}}.
Informações importantes fornecidas:
  • A função tem duas variáveis reais, x e y.
  • O numerador é y, que pode ser qualquer número real.
  • O denominador é x^{2}, que aparece dentro de uma divisão — logo, não pode ser zero.

Passo 2

O que é o domínio aqui (explicação didática)?
  • O domínio é o conjunto de todos os pares (x,y) para os quais a expressão que define f(x,y) faz sentido e resulta em um número real.
  • Regras práticas: operações de soma, produto e potenciação por inteiro são sempre definidas para reais; divisão é definida somente quando o denominador é diferente de zero; raiz par exige radicando não-negativo, etc. No nosso caso o único problema possível vem da divisão.

Passo 3

Impondo a restrição da divisão:
  • Precisamos que x^{2}\neq 0.
  • Resolver x^{2}\neq 0 é simples: x^{2}=0 só acontece quando x=0. Portanto x^{2}\neq 0 equivale a x\neq 0.

Passo 4

Conclusão e interpretação geométrica (didática):
  • Não há restrição sobre y: qualquer y\in\mathbb{R} é permitido.
  • A única restrição é x\neq 0.
  • Geometricamente, o domínio é o plano \mathbb{R}^{2} sem a reta vertical x=0 (ou seja, sem o eixo y) — todos os pontos do plano exceto aqueles com x=0.

Passo 5

Como escrever o domínio de forma formal (duas formas equivalentes úteis em prova):
  • Conjunto por condição: \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\neq 0\}.
  • Produto cartesiano: (\mathbb{R}\setminus\{0\})\times\mathbb{R}.

Resposta

\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x\neq 0\}
(\mathbb{R}\setminus\{0\})\times\mathbb{R}

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