Seja a função f(x, y, z)=x^{3} y^{5} z^{7}+x y^{2}+y^{3} z. Determine:
f_{x z}=

Passo 1

Resumindo, temos a função
f(x,y,z)=x^{3}y^{5}z^{7}+x y^{2}+y^{3}z
e queremos a derivada parcial mista
f_{xz}=\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}\Bigr).
Para isso vamos aplicar a regra do poder em cada variável, tratando as demais como constantes.

Passo 2

Primeiro calculamos
f_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3}y^{5}z^{7}+x y^{2}+y^{3}z\bigr).
Em x^{3}y^{5}z^{7} a derivada em x é 3x^{2}y^{5}z^{7}; em x y^{2} é y^{2}; e em y^{3}z, como não há x, dá 0. Logo,
f_x=3x^{2}y^{5}z^{7}+y^{2}.

Passo 3

Agora derivamos f_x em relação a z:
f_{xz}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(3x^{2}y^{5}z^{7}+y^{2}\bigr).
Em 3x^{2}y^{5}z^{7} aplicamos a regra do poder em z, obtendo 3x^{2}y^{5}\cdot7z^{6}=21x^{2}y^{5}z^{6}. A parte y^{2} não depende de z, então dá 0. Portanto
f_{xz}=21x^{2}y^{5}z^{6}.

Resposta

f_{xz}=21x^{2}y^{5}z^{6}.

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