Calcular as derivadas parciais de 1{ }^{\text {a }} ordem da função abaixo:
f(x, y)=e^{x^{2} y}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=e^{x^2y}.
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para funções compostas. Vamos tratar y como constante ao derivar em relação a x e x como constante ao derivar em relação a y.

Passo 2

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, definimos
u(x,y)=x^2y,
de modo que f(x,y)=e^{u(x,y)}. Pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x} =e^{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Como u(x,y)=x^2y, temos
\frac{\partial u}{\partial x}=2x\,y.
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = e^{x^2y}\cdot(2x\,y) =2xy\,e^{x^2y}.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, usamos a mesma ideia:
\frac{\partial f}{\partial y} =e^{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}.
Como u(x,y)=x^2y, obtemos
\frac{\partial u}{\partial y}=x^2.
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = e^{x^2y}\cdot x^2 = x^2\,e^{x^2y}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2xy\,e^{x^2y}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=x^2\,e^{x^2y}.

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