Identifique a região de \mathbb{R}^{2} onde a função é diferenciável:
z=e^{x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a região de diferenciabilidade da função
\;z = e^{\,x^{2}-y^{2}}\n
O conteúdo aqui é cálculo em várias variáveis: lembramos que polinômios e a função exponencial são suaves ( C^{\infty}), e que a composição de funções suaves é suave.

Passo 2

Considere a função auxiliar
\;p(x,y)=x^{2}-y^{2}.\n
Trata-se de um polinômio em duas variáveis, logo p é C^{\infty} em todo \mathbb{R}^{2}.

Passo 3

A função
\;q(t)=e^{t}
é a exponencial usual, que é C^{\infty} em todo \mathbb{R}.

Passo 4

A função dada pode ser vista como a composição
\;z(x,y)=q\bigl(p(x,y)\bigr).\n
Como p é C^{\infty} em \mathbb{R}^{2} e q é C^{\infty} em \mathbb{R}, a composição z=q\circ p é C^{\infty} em todo \mathbb{R}^{2}.

Resposta

A função é diferenciável em toda a reta do plano, isto é, em
\displaystyle \mathbb{R}^{2}.

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